最小生成树

安全边

Prim算法

MST-PRIM(G,w,r)    for each u belong to G.V        u.key = oo        u.p = NIL    r.key = 0    Q = G.V    while Q != null        u = EXTRACT-MIN(Q)        for each v belong to G.Adj[u]            if v belong to Q and w(u,v) < v.key                v.p = u                v.key = w(u,v)

Q中存储图G的节点，每个节点有两个属性，v.key表示与v相连的边的最小权重，v.p表示最小权重的边的另一个节点（也是最小生成树中的父节点）

Prim算法的运行时间取决于最小优先队列Q的实现
普通二叉堆，前五行初始化操作时间建堆\(O(V)\)
while循环执行\(V\)次，EXTRACT-MIN操作花费\(O(log_2(V))\)->\(O(Vlog_2(V))\)
for循环一共执行\(2E\)次,v.key=w(u,v)隐含一个DECREASE-KEY操作花费\(O(log_2(V))\)->\(O(Elog_2(V))\)
所以总的时间代价为\(O(V + Vlog_2(V) + Elog_2(V))=O(Elog_2(V))\)

如果使用斐波那契堆，EXTRACT-MIN的摊还代价为\(O(log_2(V))\),DEVREASE-KEY的摊还代价为\(O(1)\)，所以总的代价为\(O(E + Vlog_2(V))\)

适用于稠密图

Kruskal算法

以边为主，每次加入的边都是权重最小的，但是这条边不能在一个点集内

用到了不相交集合的内容

MST-KRUSKAL(G,w)    A = null    for each vertex v belong to G.V        MAKE-SET(v)    sort the edges of G.E into nondecreaseing order by weight w    for each edge(u,v) belong to G.E ,taken in nondecreasing order by weight         if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)            A = A + (u,v)            UNION(u,v)    return A

算法运行时间依赖于不相交集合数据结构的实现方式。