带你理解beta分布
来源:互联网 发布:淘宝会员名叫什么好呢 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 19:34
beta分布介绍
相信大家学过统计学的都对 正态分布 二项分布 均匀分布 等等很熟悉了,但是却鲜少有人去介绍beta分布的。
用一句话来说,beta分布可以看作一个概率的概率分布,当你不知道一个东西的具体概率是多少时,它可以给出了所有概率出现的可能性大小。
举一个简单的例子,熟悉棒球运动的都知道有一个指标就是棒球击球率(batting average),就是用一个运动员击中的球数除以击球的总数,我们一般认为0.266是正常水平的击球率,而如果击球率高达0.3就被认为是非常优秀的。
现在有一个棒球运动员,我们希望能够预测他在这一赛季中的棒球击球率是多少。你可能就会直接计算棒球击球率,用击中的数除以击球数,但是如果这个棒球运动员只打了一次,而且还命中了,那么他就击球率就是100%了,这显然是不合理的,因为根据棒球的历史信息,我们知道这个击球率应该是0.215到0.36之间才对啊。
对于这个问题,我们可以用一个二项分布表示(一系列成功或失败),一个最好的方法来表示这些经验(在统计中称为先验信息)就是用beta分布,这表示在我们没有看到这个运动员打球之前,我们就有了一个大概的范围。beta分布的定义域是(0,1)这就跟概率的范围是一样的。
接下来我们将这些先验信息转换为beta分布的参数,我们知道一个击球率应该是平均0.27左右,而他的范围是0.21到0.35,那么根据这个信息,我们可以取
之所以取这两个参数是因为:
- beta分布的均值是
αα+β=8181+219=0.27 - 从图中可以看到这个分布主要落在了(0.2,0.35)间,这是从经验中得出的合理的范围。
在这个例子里,我们的x轴就表示各个击球率的取值,x对应的y值就是这个击球率所对应的概率。也就是说beta分布可以看作一个概率的概率分布。
那么有了先验信息后,现在我们考虑一个运动员只打一次球,那么他现在的数据就是”1中;1击”。这时候我们就可以更新我们的分布了,让这个曲线做一些移动去适应我们的新信息。beta分布在数学上就给我们提供了这一性质,他与二项分布是共轭先验的(Conjugate_prior)。所谓共轭先验就是先验分布是beta分布,而后验分布同样是beta分布。结果很简单:
其中
可以看到这个分布其实没多大变化,这是因为只打了1次球并不能说明什么问题。但是如果我们得到了更多的数据,假设一共打了300次,其中击中了100次,200次没击中,那么这一新分布就是:
注意到这个曲线变得更加尖,并且平移到了一个右边的位置,表示比平均水平要高。
一个有趣的事情是,根据这个新的beta分布,我们可以得出他的数学期望为:
因此,对于一个我们不知道概率是什么,而又有一些合理的猜测时,beta分布能很好的作为一个表示概率的概率分布。
beta分布与二项分布的共轭先验性质
二项分布
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布
二项分布的似然函数:
beta分布
在beta分布中,B函数是一个标准化函数,它只是为了使得这个分布的概率密度积分等于1才加上的。
贝叶斯估计
我们做贝叶斯估计的目的就是要在给定数据的情况下求出
注意到因为P(data)与我们所需要估计的
我们称
共轭先验
现在我们有了二项分布的似然函数和beta分布,现在我们将beta分布代进贝叶斯估计中的
我们设
最后我们发现这个贝叶斯估计服从Beta(a’,b’)分布的,我们只要用B函数将它标准化就得到我们的后验概率:
参考资料:
1.Understanding the beta distribution (using baseball statistics)
2.20 - Beta conjugate prior to Binomial and Bernoulli likelihoods
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