数据拟合与插值方法

插值方法

interp1——一维数据插值函数

一维数据插值。该函数对数据点之间计算内插值，它找出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数表达式由所给数据决定。
yi=interp1(x,Y,xi)：返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量X与Y的内插值决定。参量x 指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
yi=interp1(Y,xi)：假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。
yi=interp1(x,Y,xi,method)：用指定的算法计算插值。nearest为最近邻点插值，直接完成计算；linear为线性插值（默认方式），直接完成计算；spline为三次样条函数插值。
yi=interp1(x,Y,xi,method,’extrap’)：对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。
yi=interp1(x,Y,xi,method,extrapval)：确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。

csape

pp = csape(x,y,conds,valconds)
其中(x,y)为数据向量，conds表示变界类型， valconds表示边界值。
边界类型(conds)可为：
‘complete’，给定边界一阶导数.
‘not-a-knot’，非扭结条件,不用给边界值.
‘periodic’，周期性边界条件,不用给边界值.
‘second’，给定边界二阶导数.
‘variational’，自然样条(边界二阶导数为0)
边界类型(valconds)可为：
‘complete’，给定边界一阶导数.
‘not-a-knot’，非扭结条件,不用给边界值.
‘periodic’，周期性边界条件,不用给边界值.
‘second’，给定边界二阶导数.
‘variational’，自然样条(边界二阶导数为0)

interp2函数——二维数据内插值

完成二维的数据插值。
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI)：返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素。用户可以输入行向量 和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数 Z=f(X,Y)。
ZI=interp2(Z,XI,YI)：默认地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。
ZI=interp2(Z,n)：作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。interp2(Z)等价于interp2(z,1)。
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)：用指定的算法method计算二维插值。linear为双线性插值算法（默认算法），nearest为最临近插值，spline为三次样条插值，cubic为双三次插值。

interp3函数——三维数据插值

完成三维数据插值。
VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)：求出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。参 量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。若向量参量XI,YI,ZI是不同长度、不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩 阵。Y1,Y2,Y3为用函数meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点（X,Y,Z）之外的点，则 相应地返回特殊变量值NaN。
VI=interp3(V,XI,YI,ZI)：默认地，X=1:N，Y=1:M，Z=1:P，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形计算。
VI=interp3(V,n)：作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。这样，V的阶数将不断增加。interp3(V)等价于interp3(V,1)。
VI=interp3(…,method)：用指定的算法method做插值计算。linear为线性插值（默认算法），cubic为三次插值，spline为三次样条插值，nearest为最邻近插值。

interpn函数——n维数据插值

完成n维数据插值。
VI=interpn(X1,X2,…,Xn,V,Y1,Y2,..,Yn)：返回由参量X1,X2,..,Xn,V确定的n元函数 V=V(X1,X2,..,Xn)在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。若 Y1,Y2,…,Yn是向量，则可以是不同长度，不同方向（行或列）的向量。
VI=interpn(V,Y1,Y2,…,Yn)：默认地，X1=1:size(V,1),X2=1:size(V,2),…,Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形计算。
VI=interpn(V,ntimes)：作ntimes递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。这样，V的阶数将不断增加。interpn(V)等价于interpn(V,1)。

二维插值，interp2与griddata的区别

interp2的插值数据必须是矩形域，一般使用meshgid生成的
而griddata函数的插值数据X和Y没有那么多数据，特别是对试验中随机没有规律采取的数据进行插值具有很好的效果
griddata(X,Y,xi,yi,’v4’) v4是一种插值算法，没有具体的名字，一般认为是最好的
X和Y提供的已知数据点，xi和yi是需要插值的数据点，一般使用meshgrid生成，当然也可以其他数据，但是那样绘图的时候就比较麻烦，不能使用mesh等，只能使用trimesh

Example：

x=[0,0.25 ,0.5,0.75,1];y=[620,700,800,900,1000];z=[0.00214      0.01025        0.01681        0.02331        0.02644           0.00236        0.01039        0.01717        0.02375        0.02711           0.00286        0.01058        0.01739        0.02411        0.02792           0.00328        0.01072        0.01747        0.02442        0.02878           0.00369        0.0108         0.01761         0.02481        0.0295      ];xi=linspace(0,1,100); yi=linspace(600,1000,80); [xii,yii]=meshgrid(xi,yi); zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'linear');zii1=interp2(x,y,z,xii,yii,'spline');zii2=interp2(x,y,z,xii,yii,'nearest');zii3=griddata(x,y,z,xii,yii,'v4');subplot(2,2,1);%将区域分为2x2并取第一个区域mesh(xii,yii,zii),title('interp2 线性插值');画图并设置标题subplot(2,2,2);mesh(xii,yii,zii1),title('interp2 三次样条插值');subplot(2,2,3);mesh(xii,yii,zii2),title('interp2 临近点插值');subplot(2,2,4);mesh(xii,yii,zii3),title('griddata'); 

拟合方法

线性拟合函数：regress()

调用格式： b=regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha)
说明：b=regress(y,X)返回X与y的最小二乘拟合值，及线性模型的参数值β、ε。该函数求解线性模型：
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。

Example：

当x为1到33时Y为
y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99]

y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99];x=[ones(33,1) (1:33)'];[b,bint,r,rint,stats]= regress(y',x);b =    5.2904    0.0921bint =    4.9201    5.6608    0.0731    0.1111r =   -1.6525    0.7954    0.3633    0.1112   -0.0309   -0.0430   -0.0651   -0.2472   -0.1593   -0.1814    0.1965    0.6044    0.3123    0.1002    0.3581    0.9060    0.7339    0.0118    0.1297   -0.1423   -0.0544   -0.3265   -0.7686   -0.7907   -0.5828   -0.2849   -0.2870   -0.1191    0.2088    0.0367   -0.0354    0.2425    0.6604rint =   -2.4339   -0.8712   -0.1605    1.7513   -0.6338    1.3604   -0.8993    1.1216   -1.0467    0.9849   -1.0630    0.9770   -1.0888    0.9586   -1.2705    0.7761   -1.1881    0.8695   -1.2124    0.8496   -0.8365    1.2295   -0.4084    1.6172   -0.7203    1.3450   -0.9396    1.1400   -0.6746    1.3909   -0.0796    1.8917   -0.2716    1.7395   -1.0301    1.0537   -0.9105    1.1700   -1.1815    0.8968   -1.0935    0.9846   -1.3570    0.7039   -1.7638    0.2265   -1.7810    0.1996   -1.5902    0.4245   -1.3069    0.7370   -1.3054    0.7313   -1.1383    0.9000   -0.8041    1.2217   -0.9745    1.0479   -1.0416    0.9708   -0.7543    1.2393   -0.3037    1.6245stats =    0.7591   97.6636    0.0000    0.2598plot(x,y2,x,y,'go');

即回归方程为：y= 5.2904+0.0921x,置信度为0.75.

多项式曲线拟合函数：polyfit( )

调用格式： p=polyfit(x,y,n)
[p,s]= polyfit(x,y,n)
说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。

多项式曲线求值函数：polyval()

调用格式： y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

%使用上面的例子y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99];x=[ones(33,1) (1:33)'];p=polyfit(x,y,6)p =   -0.0000    0.0001   -0.0028    0.0528   -0.4775    2.0159    2.7873xi=linspace(1,33,100);%1到33等分取100个数z=polyval(p,xi);%求算出的多项式的对应x的值plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')%画原始数据点，原始折线，和拟合后的曲线legend('原始数据','6阶曲线')

即多项式方程为：y= 0.0001x^5-0.0028x^4+0.0528x^3-0.4775x^2+2.0159x+2.7873

多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：polyconf( )

调用格式： [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
说明：[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。1-alpha为置信度。

%使用上面的例子%继续上面的图像做置信区间[p s]=polyfit(x,y,6);[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,0.05);z=polyval(p,xi);%求算出的多项式的对应x的值plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b');%画原始数据点，原始折线，和拟合后的曲线legend('原始数据','10阶曲线');hold onplot(x,Y-DELTA,'r',x,Y+DELTA,'r');%画置信区间

稳健回归函数：robust( )

稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。
调用格式： b=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’)
说明：b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项；为’off ’时忽略常数项。

%使用上面的例子y=[3.73 6.27 5.93 5.77 5.72 5.80 5.87 5.78 5.96 6.03 6.50 7.00 6.80 6.68 7.03 7.67 7.59 6.96 7.17 6.99 7.17 6.99 6.64 6.71 7.01 7.40 7.49 7.75 8.17 8.09 8.11 8.48 8.99];x=1:33;scatter(x,y);%画图，离散点hold on;p=regress(y',[ones(33,1) x']);%线性拟合r=robustfit(x,y);%稳健拟合plot(x,p(1)+p(2)*x,':',x,r(1)+r(2)*x,'r');%画图legend('原始数据','线性拟合','稳健拟合')%设置图例

分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响，向异常值偏移。

向自定义函数拟合nlinfit( )

对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
调用格式： [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao)
说明：beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。

Example：

%新建一个脚本function y=Fun(beta0,x)  a=beta0(1);  b=beta0(2);  y=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));%命令行x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00...      16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00...       24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 32.00...     34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]';y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43...     0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.41...     0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39]';     beta0=[0.30 0.02];//a,b初始值betafit = nlinfit(x,y,'Fun',beta0);betafit =    0.3896    0.1011    %即a=0.3896 b=0.1011plot(x,y,'go',x,Fun(betafit,x),'r')%画图