矩阵连乘

   问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

      问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

       完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

     （1）单个矩阵是完全加括号的；

     （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)

       例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

      看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

      所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。

动态规划方案：

#include <iostream>#include<algorithm>#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;const int N=100+1;int m[N][N],s[N][N],p[N],n;void show(int i,int j){    if (i==j)        return;    show(i,s[i][j]);    show(s[i][j]+1,j);    printf("%d--%d %d--%d\n",i,s[i][j],s[i][j]+1,j);}void fun(){   int i,j,k,r;   for (i=0;i<=n;i++)        m[i][i]=0;    for (r=2;r<=n;r++)    {       //相当于每次分的段大小       for (i=1;i<=n-r+1;i++)        {       //相当于起点集合            int j=i+r-1;        //每个循环的确切结束位置            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];            s[i][j]=i;            for (k=i+1;k<j;k++){             int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];                if (temp<m[i][j])                    m[i][j]=temp;                    s[i][j]=k;            }        }    }}int main(){   int i;   while (~scanf("%d",&n))   {       memset(m,0,sizeof(m));       memset(s,0,sizeof(s));       memset(p,0,sizeof(p));       for (i=0;i<=n;i++)        scanf("%d",&p[i]);       //输入        fun();        printf("%d\n",m[1][n]);        show(1,n);   }    return 0;}/*630 35 15 5 10 20 25结果：15125*/

递归方案：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define M 101int n,val[M],dp[M][M],ans,path[M][M];void show(int i,int j){    if (i==j)        return;    show(i,path[i][j]);    show(path[i][j]+1,j);    printf("%d--%d %d--%d\n",i,path[i][j],path[i][j]+1,j);}int dfs(int s,int e){    int k;    if (s==e)        return 0;    int ans=dfs(s+1,e)+val[s-1]*val[s]*val[e];    path[s][e]=s;    for (k=s+1;k<e;k++)    {        int temp=dfs(s,k)+dfs(k+1,e)+val[s-1]*val[k]*val[e];        ans=min(ans,temp);    }    return ans;}int main(){    int i,j;    scanf("%d",&n);    for (i=0;i<=n;i++)        scanf("%d",&val[i]);    printf("%d\n",dfs(1,n));    show(1,n);    return 0;}

备忘录方案：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define M 101int n,val[M],dp[M][M],ans,path[M][M];void show(int i,int j){    if (i==j)        return;    show(i,path[i][j]);    show(path[i][j]+1,j);    printf("%d--%d %d--%d\n",i,path[i][j],path[i][j]+1,j);}int dfs(int s,int e){    int k;    if (s==e)        return 0;    if (dp[s][e])        return dp[s][e];    int ans=dfs(s+1,e)+val[s-1]*val[s]*val[e];    path[s][e]=s;    for (k=s+1;k<e;k++)    {        int temp=dfs(s,k)+dfs(k+1,e)+val[s-1]*val[k]*val[e];        ans=min(ans,temp);    }    dp[s][e]=ans;    return ans;}int main(){    int i,j;    scanf("%d",&n);    for (i=0;i<=n;i++)        scanf("%d",&val[i]);    printf("%d\n",dfs(1,n));    show(1,n);    return 0;}