对于Matlab中FFT变换的思考

以下的FT图像指的是对一幅图像直接进行傅里叶变化后得到的图像，频率矩形指的是平移的最终位置，因为空域的坐标原点就在图像的左上角，所以FT图像的坐标原点也在左上角，但是不幸的是这样转到频率域后我们看到的是以FT图像的原点为中心的四个1/4图像组成的一个频谱图。所以我们有必要将FT的原点从(0，0)平移到频率矩形的左上角即原图的(M/2.N/2)

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预备知识：

1、Matlab的abs()函数对于复数而言是求其模长，所以大家不要感觉到怎么和图像处理课本上的定义不一样了

2、傅里叶变换后的频谱动态范围很大，所以为了全部显示所以的频谱，我们关注的亮度

3、matlab中，我们常使用imshow()函数来显示图像，而此时的图像矩阵可能经过了某种运算。在matlab中，为了保证精度，经过了运算的图像矩阵A其数据类型会从unit8型变成double型。如果直接运行imshow(A)，我们会发现显示的是一个白色的图像。
这是因为imshow()显示图像时对double型是认为在0~1范围内，即大于1时都是显示为白色，而imshow显示uint8型时是0~255范围。而经过运算的范围在0-255之间的double型数据就被不正常得显示为白色图像了。
那么如何解决这个问题呢？通过搜索，找到两个解决方法：
         imshow(I/256); -----------将图像矩阵转化到0-1之间
         imshow(I,[]);       -----------自动调整数据的范围以便于显示 （不明白原理！）

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对于一维函数：未平移前，FT的一个周期是沿原点对称分布的。讨论DFT，假设频率范围为[0，1，……，M－1，M]，则DFT的频谱分布在原点0的两侧，左：[M/2，M/2-1，……，0]，右侧[0，……，M/2-1，M/2]

同样，将上述道理用于理解二维函数（比如图像数据）：FT的中心位于频率矩形的中点——假设u,v为频率自变量，则在u方向的FT和沿v方向的FT是沿原点对称分布的，而原始图像的原点在左上角（故FT图像的原点也在左上角），这就导致一幅图像的FT图像由相邻的四个FT周期的1/4组成，如下图所示：

频谱平移使用fftshift来重排数据，相当于把FT图像的原点移到了频率矩形的原点（左上角），如下图所示：

//关于频率矩形：设u方向的频率范围为[0，M]，v方向的频率范围为[0,N]，则矩形[（0，0）（M，0）（M,N）（0,N）]即频率矩形。

示例：

图像生成：

>> I=zeros(255,255);

>> I(100:155,100:155)=1;

>> imshow(I)

傅立叶变换并显示幅值谱：

>> F=fft2(I);

>> S=abs(F);figure

>> imshow(S,[])

图上，四个角的亮点是由于FT的周期性导致的结果（分析见上文）。

经过频谱平移后的图像为：

>> Fc=fftshift(F);figure,imshow(abs(Fc),[])

亮度区域不明显，不方便观察——因为频谱的动态范围太大了，与8比特显示（此时中心处的明亮值占支配地位）相比要大得多。

可以知道

>> max(max(abs(F)))

ans =

      799680 %此值很大！

为此，可以使用对数变换来压缩动态范围。

>> S2=log(1+abs(Fc));imshow(S2,[])

>> max(max(abs(S2)))

ans =

   13.5920

可以看到，动态范围已降至13.5920，更方便观察与处理。

摘录一段：“对数变换的一项主要应用是压缩动态范围，例如，傅立叶频谱的范围为[0，10^6]或更高，当FT频谱显示于已线性放至8比特的监视器上时，高值部分占优，从而导致频谱中低亮度值的可视细节丢失。通过计算对数，10^6左右的动态范围会降至14。”——Gonzalez《数学图像处理》