Java基础 - 图论之相关定义

1图：一个图（graph）G=（V,E）由顶点（vertex）的集V和边（edeg）的集E组成。每一条边就是一副点对（v,w），其中v,w∈V。有时也把边称作弧（arc）。如果点对是有序的，那么图就是有向（directed）的。有向的图有时也叫作有向图（digraph）。顶点w和v领接（adjacent）当且仅当（v,w）∈E。在一个具有边（v,w）的无向图中，w和v邻接且v和w也邻接，有时候边还具有第三种成分，称作权（weight）或值（cost）。这种带权的图通常被称为网（Network）。2有向图和无向图（注意尖括号和圆括号）：VR是两个顶点之间的关系的集合。若<v,w>∈VR,则<v,w>表示从v到w的一条弧，且称v为弧尾（Tail）或初始点（Initial node），成w为弧头（Head）或终端点（Terminal node），此时的图称为有向图（Diragph）。若<v,w>∈VR必有<w,v>∈VR，即VR是对称的，则以无序对（v,w）代替这两个有序对，表示v和w之间的一条边，此时的图称为无向图。3完全图：我们有n表示图中顶点的数目用e表示边或弧的数目。在下面的讨论中我们不考虑顶点到其本身的边或弧。即若<vi,vj>∈VR,则vi≠vj。那么对于无向图e的取值范围为0~n(n-1)/2,有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图（Completedgraph）。对于有向图e的取值范围是0~n(n-1),具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图。4稀疏图和稠密图：又很少条边或弧的（如e<nlogn）图称为稀疏图，反之则称为稠密图。5子图：假设有两个图G=(V,E)和G`=(V`,E`),如果v`∈V且E`∈E，则称G`位G的子图。6路径：图中的一条路径（path）是一个顶点序列w1，w2，w3，……，wn使得（wi，wi+1）∈E，1<=i<n。7路径长度：路径长度是路径上边或弧的数目。8回路或环：如果图含有一条从顶点到他本身的边（v,v），或者是第一个顶点和最后一个顶点相同的路径那么路径v,v有时也叫作回路或环（loop）或（cycle）。9简单路径：一条简单路径是这样的一条路径：其上的所有顶点都是互异的，但第一个顶点和最后一个顶点可能相同，这时也可以称为是简单回路或简单环。10连通：在无向图性中，若顶点Vi到顶点Vj之间存在路径，则Vi和Vj是连通的（Connected）或说是相连的。11连通图：在无向图型中，任意两顶点都是连通的，则称该图为连通图（Connected Graph），反之则称为非连通图。12强连通图：在有向图型中，任意两顶点都是连通的，则称该图为强连通的（Strongly Connected）。13弱连通图：果一个有向图不是强连通的，但是他地基础图（underlying graph），即其弧上去掉方向所形成的图，是联通的。那么该有向图称为是弱联通的（weakly connected）。14圈：有向图中的圈（cycle）是满足w1=wn且长至少为1的一条路径；如果该路径是简单路径，那么这个圈就是简单圈。对于无向图，我们要求边是互异的。这些要求的根据在于无向图中的路径u，v，u不该认为是圈，因为（u，v）和（v,u）是同一条边。但是在有向图中他们是两条不同的边，因此称他们为圈是有意义的。如果一个有向图中没有圈，则称其为无圈的（acyclic）。一棵有向无圈图有时也被称为DAG。15连通分量：在无向图型中，所谓连通分量（Connected Component）指的是其极大连通子图。它是与图的其他部分隔离开的。16强连通分量：在有向图型中，所谓强连通分量指的是其极大连通子图。17依附：对于无向图G=（V，E），如果边（v,w）∈E，则称顶点v和w互称为邻接点（Adjacent），即v和w相邻接，边（v，w）依附与顶点v和w，或者说边（v,w）和顶点v和w相关联。18度：顶点v的度是和v相关联的边的数目，记为TD(v).在无向图中，一个顶点有拥有的边的总数为度。19出度/入度：对于有向图G=（V,E），如果弧<v,w>∈E，则称顶点v邻接到顶点w，顶点w邻接自顶点v。弧<v,w>和顶点v，w相关联。以顶点v为头的弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID(v)；为v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree），记为DT(v)。顶点v的度 TD(v)=ID(v)+OD(v)。一般的如果顶点vi的度记为TD(vi)，那么一个有n个顶点，e条边或弧的图，满足如下关系：ne = 1/2 ∑ TD(vi)   i=1   20生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但是只有足以构成一棵树的n-1条边。如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环。因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。一棵有n顶点的生成树有且仅有n-1条边。如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图。如果他多于n-1条边，则一定是环。但是，n-1条边的图不一定是生成树。21有向树：如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。22生成森林：一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。它的生成森林可能有很多种，主要是从哪个顶点开始。例如下面的例子 A ───→ B ←─── C  森林1：A开始森林2：D开始森林3：E开始│↑   ↑↑  │↑A    D             D  ED││  ┌──┘│  │││││             ││  ││  ││└──┼──┐│┌────┘│  F←┘└→B↓E←┘└→CA←┘└→B↓│┌──┘  │││   │  │C│ ││C↓│   ││↓   │  ↓↓ ↓↓F ───→  E ←─── D  EA BF│↓F