DX11编程（二）：向量代数

向量篇

计算机绘图、碰撞检测和物理模拟是现代视频游戏的基本组成部分，向量（vector）在这些领域中具有至关重要的作用。向量（vector）是一种同时具有大小和方向的物理量（quantity）。同时具有大小和方向的物理量称为向量值物理量（vector-valued quantity）。常见的向量值物理量有：力（在某个特定方向上施加一定的作用力——量值），位移（在某个净方向上移动一段距离），速度（速率和方向）。因此，向量可以用来表示力、位移和速度。有时我们也用向量来表示一个单个方向，比如玩家在3D游戏中的观察方向、多边形面对的方向、光线的传播方向以及从一个物体表面折回的反射光方向。

我们通过一个有向线段来表示向量，其中长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。向量所描绘的位置并不重要，改变向量的位置并不会影响向量的大小和方向（这是向量具有的两个属性）。也就是，当且仅当两个向量具有相同的长度和方向时，我们说这两个向量相等。其实，位置对于向量来说无关紧要，我们可以随便平移一个向量，但是不会改变该向量所表示的含义（因为平移即不会改变向量的长度，也不会改变向量的方向）。注意，我们可以平移u，使它与v重叠（反之亦然），由此使它们彼此难以区分——因为它们是相等的。

一、向量和坐标系

我们无法在计算机中以几何方式表示向量，我们必须寻求一种替代方案，以数字方式表示向量。所以我们在空间中引入了3D坐标系的概念，并将所有的向量尾部平移到坐标系原点（图1.2）。然后通过指定向量首部的坐标来表示一个向量，记作v= (x,y,z)，如图1.3所示。现在，我们可以在计算机程序中用3个浮点数来表示一个向量了。

（要注意的是：不同的坐标系中，同一向量会有不同的坐标）

二、左手坐标系和右手坐标系

Direct3D使用所谓的左手坐标系（left-handed coordinate system）。假如你把左手手指指向x轴正方向，然后朝y轴正方向弯曲四指，大拇指就会指向z轴正方向。图1.5展示了左手坐标系和右手坐标系之间的区别。

三、 基本向量的运算

设u= (1,2,3)、v= (1,2,3)、w=(3, 0, −2)、k=2。则，
1．u+w= (1, 2,3) + (3, 0, −2) = (4, 2,1)；
2．u=v；
3．u−v=u+ (−v) = (1,2,3) + (−1, −2, −3) = (0, 0,0) = 0；
4．kw=2(3, 0, −2) = (6, 0, −4)。

第3行例举了一个特殊的向量，称为零向量。零向量的所有分量均为零，它可以由0来表示。

四、向量的长度和单位向量

五、向量的点积

六、向量的叉积

七、向量和点