全排列生成算法

概述

​ 全排列问题，简单来说，就是由n个不同元素组成的序列，从中取出n个元素，按不同顺序排列起来。如：”123”，它的全排列为，”123”，”132”，”213”，”231”，”312”，”321”，总共有n!种结果。

解法一：回溯法求解

​ 对于求解所有可能情况的问题，回溯法不失为一种可以解决问题的方法。对于全排列生成，可以把序列的每一个字符作为一层，也可以说是，固定一个字符，对剩余的其他字符求解全排列，举个例子：

“123”

固定1，求解”23”的全排列，与1组合，则是以1开头的，所有可能的排列；

固定2，求解”13”的全排列，与2组合，则是以2开头的，所有可能的排列；

固定3，求解”12”的全排列，与3组合，则是以3开头的，所有可能的排列。

​ 当序列仅有一个元素时，全排列只有一种，是它本身。回溯法求全排列的过程，求解完固定一个字符的全排列之后，回溯到上层，再固定另一个求解的过程。

​ 具体代码如下：

void cal_all_permutation(char *perm, int from, int to){    if (to <= 1) {        return;    }    if (from == to) {        int i;        for (i = 0; i <= to; ++i) {            printf("%c", perm[i]);        }        printf("\n");    }    else {        int i;        for (i = from; i <= to; ++i) {            std::swap(perm[i], perm[from]);            cal_all_permutation(perm, from + 1, to);            std::swap(perm[i], perm[from]);  //回溯过程        }    }}

解法二：字典序排序

​ 字典序排序算是解决全排列生成问题的一种很好的方法，根据字符串各元素的字典序，可以确定两个字符串的大小关系。

​ 这里要先确定两个前提：

1. 字符串初始状态必须经过升序排序；
2. 字符串初始状态是最小的一种排列。

​ 对于1，字典序排序解决全排列问题，核心思想是，在求解下一个排列时，下一个排列恰好比当前排列大，并且所求的下一个排列是比当前排列大的所有排列中最小的，当前序列变为降序排序之后，就没有比其更大的排列了，全排列所有情况求解得到。

​ 对于2，字典序确定两个字符串大小时，是一次比较各个相应位置上的元素的大小，对于位置i, p1[i] > p2[i]则p1大于p2，同理，p1[i] < p2[i]则p1小于p2，仅有两者字符完全相同的情况下才相等。因此，当初始状态时，升序排序之后，任意字符串与其比较时，对于每个位置，并不可能再找出一个比初始状态的该位置元素更小的元素(注意，排列问题中，各元素是不能重复的)。所以初始状态必定为最小排列。以下则是字典序排序具体描述：

字典序排序算法描述：

1. 从序列sz - 2位置开始(序列索引从0开始，末尾元素索引为sz - 1)，寻找第1个使得perm[i] < perm[i + 1]成立的元素，并记录索引i；2. 从序列sz - 1位置开始，在字典序大于perm[i]的元素中，寻找最小的那个元素，并记录索引j；3. 交换perm[i]与perm[j]；4. 反转perm[i]至perm[sz - 1]之间的子序列，即i + 1 -> sz - 1。

bool cal_next_permutation(char *perm, int sz){    int i;    //寻找第1个使得perm[i] < perm[i + 1]成立的元素    for (i = sz - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i) {         ;    }    //未找到，说明当前排列为降序排序，不可能有更大的排列了    if (i < 0) {        return false;    }    int j;    //寻找大于第一步中找到的元素的最小值    for (j = sz - 1; (j > i) && (perm[j] <= perm[i]); --j) {        ;    }    std::swap(perm[i], perm[j]);    reverse(perm + i + 1, perm + sz);    return true;}