[XJB出题] [组合数学] 雪花项链(snowflakes)

//HeRaNO又开新坑了……
Description 题目描述

HSD桑一直想送给FZ酱一个挂饰，可是总也找不到合适的。这一天，久违的雪降落在校园里，HSD桑灵光乍现，不如收集起这些雪花做一个。
于是，HSD桑在校园收集了n片雪花，准备制作雪花挂饰。可是有一个问题，因为HSD桑的思路是流动的，他没想好这个挂饰有多少片雪花。
可是他因为着急制作，所以不管那么多了，直接开始。准备好雪花们，却发现没有合适的绳子把它们穿起来……
好（shi）心（duo）的HeRaNO发现了闹心ing的HSD桑，于是帮他找到了一些绳子，可是因为他好（shi）心（duo），他向HSD桑提了T个问题，询问HSD桑利用这些雪花可以做成多少种不同的雪花挂饰。
HSD桑快烦死HeRaNO了，于是决定不回答。可是HeRaNO是绳子的提供者，如果不回答HeRaNO的问题，HeRaNO就会收走绳子……
因为HSD桑的思路是流动的，他每一次制作时都会在一个区间里选择雪花挂饰用的雪花数，我们把区间记为[l,r]，为闭区间。所以HSD桑可以做成的挂饰数为用[l,r]内所有雪花数情况的和。因为HSD桑获得的绳子不是特别多，绳子用多了也麻烦，于是他想用最少的绳子将他想选择的雪花连接上。
因此，HSD桑向你发出了求助，请帮助HSD桑解决他的问题。

Input 输入

第1行为三个正整数n，T，R。n，T意义如题。请在R的剩余系下完成计算；
第2~T+1行，每行两个整数l，r，意义如题。

Output 输出

输出T行，对于第i行表示对于第i个问题的答案。

Sample Input 样例输入

4 1 1000000007
3 4

Sample Output 样例输出

28

Explanation 样例解释

HSD桑可以用4片雪花中的3片做成12种不同的雪花挂饰，可以用4片雪花中的4片做成16种不同的雪花挂饰；
因此用[3,4]片雪花可做成12+16=28种不同的雪花挂饰。

Limits 限制

共20组测试数据
其中：
50%的数据：R=109+7；
其余50%的数据：R=998244353。
10%的数据：n≤10；
50%的数据：n≤106，T=1；
对于这50%的数据，有50%的数据l=r；
100%的数据：n≤106，T≤106,0≤l≤r≤n。
Time Limit : 2s & Memory Limit : 512MB

Hints 提示

我们都知道，世界上几乎没有完全相同的两片雪花，所以本题中每片雪花可看做两两不同。
两种方案相同，当且仅当所选雪花完全相同且每一片雪花连接的雪花也完全相同。

请原谅我语言表达能力不足……
本人第二次出这样的组合数学题…….希望大家轻喷……
Solution 题解
首先，R是假的，那两个数都是质数……
如何用最少的绳子将n片雪花连起来，当然是用n−1条绳子连成树了……
首先，我们从n片雪花中选出i片，方案有Cin种。
然后，我们把这i片雪花连起来，根据Cayley定理，共ii−2种方案。
因此，对于选择i片雪花，就有Cin∗ii−2种方案。
因为i不是固定的，所以答案为∑ri=lCin∗ii−2。
所以对于T=1的数据，每次暴力加起来……，对于T=106的数据，使用前缀和优化。
(a−b)%p=(a%p−b%p+p)%p……
对于求C的过程，O(n)处理逆元，O(1)计算。
对于求ii−2的过程，上快速幂……
因此，整个算法时间复杂度为O(n+log2n!+T)。
log2n!=∑ni=1log2i
当n=106时，一定有
∑ni=1log2i<n∗log2106<2∗107
得出log2n!<2∗107，所以时间复杂度可以保证。

Source 来源

五三数学选修2-3 P17第15题……
（数学课上闲的没事瞎想……）

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