数据结构：树tree和二叉树BinaryTree的实现与代码分析

一些概念：

一棵树是一些结点的集合。这个集合可以是空集，若不是空集，则树由称作根（root）的结点r以及零个或多个非空的（子）树T1，T2...Ta组成，子树中每一个棵的根都被来自根r的一条有向的边（edge）所连接。

每一棵子树的根叫做根r的儿子（child），而r是每一棵子树的根的父亲（parent）。

没有儿子的结点成为叶（leaf）结点。

具有相同父亲的结点为兄弟（siblings）结点。

对于任意结点n，n的深度（depth）为从根到n的唯一路径的长。因此根的深度为0.

n的高度是从n到一片树叶的最长路径的长。因此所有的树叶的高度都是0.

一棵树的高等于它的根的高。

一棵树的深度等于它最深的树叶的深度。等于根的高度。

前序遍历：对结点的处理工作是在它的诸儿子结点被处理之前进行的。

后序遍历：对结点的处理工作是在它的诸儿子结点被处理之后进行的。

内部路径长（internal path length）一棵树所有结点的深度总和。

//普通的树结点template <typename Object>struct TreeNode {Object element;//结点的数据TreeNode* firstChild;//第一个儿子的指针TreeNode* nexSibling;//当前结点的兄弟结点的指针};

二叉树：每个结点最多有两个儿子的树。

每个二叉树，具有N个结点，N+1个NULL结点

//二叉树结点template<typename Object>struct BinaryNode {Object element;//结点的数据BinaryNode* left;//左结点BinaryNode* right;//右结点};

二叉查找树：对于树中的每个结点，它的左子树中所有项的值小于x中的项，而它的右子树中所有项的值大于x中的项。

//  //  Vector.h  //  HelloWorld  //  csdn blog：http://blog.csdn.net/u012175089  //  Created by Fable on 17/1/7.  //  Copyright (c) 2017年 Fable. All rights reserved.  //  #ifndef __HelloWorld__Tree__  #define __HelloWorld__Tree__#include <iostream>namespace Fable{ //二叉查找树，对于Comparable,必须实现了><=的比较template<typename Comparable>class BinarySearchTree{public://构造函数BinarySearchTree(){}//复制构造函数BinarySearchTree(const BinarySearchTree& rhs){root = clone(rhs.root);}//析构函数~BinarySearchTree(){makeEmpty(root);}//复制赋值运算符const BinarySearchTree& operator=(const BinarySearchTree& rhs){if (this != &rhs){makeEmpty(root);//先清除root = clone(rhs.root);//再复制}return *this;}//查找最小的对象const Comparable& findMin()const{findMin(root);}//查找最大的对象const Comparable& findMax()const{findMax(root);}//是否包含了某个对象bool contains(const Comparable& x)const{return contains(x, root);}//树为空bool isEmpty()const{return root == nullptr;}//打印整棵树void printTree()const{printTree(root);}//清空树void makeEmpty(){makeEmpty(root);}//插入某个对象void insert(const Comparable& x){insert(x, root);}//移除某个对象void remove(const Comparable& x){remove(x, root);} private:struct BinaryNode {Comparable element;BinaryNode* left;BinaryNode* right;BinaryNode(const Comparable& theElement, BinaryNode* lt, BinaryNode* rt):element(theElement), left(lt), right(rt){}};BinaryNode* root;//根结点//插入对象，这里使用了引用void insert(const Comparable& x, BinaryNode*& t)const{if (!t){t = new BinaryNode(x, nullptr, nullptr);}else if (x < t->element){insert(x, t->left);//比根结点小，插入左边}else if (x > t->element){insert(x, t->right);//比根结点大，插入右边}else{//相同的}} void removeMin(BinaryNode*& x, BinaryNode*& t)const{if (!t){return nullptr;//找不到}if (t->left){return removeMin(t->left);//使用了递归的方式}else{//找到最小的结点了x->element = t->element;BinaryNode* oldNode = t;t = t->right;delete oldNode;//删除原来要删除的结点return t;}}//删除某个对象，这里必须要引用void remove(const Comparable& x, BinaryNode*& t)const{if (!t){return;//树为空}else if (x < t->element){remove(x, t->left);//比根结点小，去左边查找}else if (x > t->element){remove(x, t->right);//比根结点大，去右边查找}else if (!t->left && !t->right)//找到结点了，有两个叶子{removeMin(t, t->right);}else{BinaryNode* oldNode = t;t = (t->left) ? t->left : t->right;//走到这里，t最多只有一个叶子，将t指向这个叶子delete oldNode;//删除原来要删除的结点}}//左边子树的结点肯定比当前根小的，所以一直往左边寻找BinaryNode* findMin(BinaryNode* t)const{if (!t){return nullptr;//找不到}if (!t->left){return t;}return findMin(t->left);//使用了递归的方式}//右边子树的结点肯定比当前根大，所以一直往右边找BinaryNode* findMax(BinaryNode* t)const{if (t){while (t->right)//使用了循环的方式{t = t->right;}}return t;}//判断是否包含某个对象，因为要使用递归，所以还有一个public版本的bool contains(const Comparable& x, BinaryNode* t)const{if ( !t ){return false;//空结点了}else if (x < t->element){//根据二叉树的定义，比某个结点小的对象，肯定只能存在与这个结点的左边的子树return contains(x, t->left);}else if (x > t->element){//根据二叉树的定义，比某个结点大的对象，肯定只能存在与这个结点的右边的子树return contains(x, t->right);}else{//相等，就是找到啦。return true;}}//清空子树void makeEmpty(BinaryNode*& t){if (t){makeEmpty(t->left);//清空左边makeEmpty(t->right);//清空右边delete t;//释放自身}t = nullptr;//置为空}//打印子树，这里没有使用复杂的排位，纯属打印void printTree(BinaryNode* t)const{if (!t){return;}std::cout << t->element << std::endl;//输出自身的对象printTree(t->left);//打印左子树printTree(t->right);//打印右子树}BinaryNode* clone(BinaryNode* t)const{if (!t){return nullptr;}return new BinaryNode(t->element, clone(t->left), clone(t->right));}};}#endif

二叉树的所有操作平均运算时间是O(logN)。

但是在极端的情况下，是有可能失衡的，例如经常插入和删除数据，按上面的算法来说，是会造成左子树的比右子树深。

当极度失衡，就变成一个单向链表了。

有些经过转变的树会考虑着方面的问题，会做调整。下一章再说了。