1.计算机硬件基础-校验码（5）

校验码基础知识

校验码是为了发现传递信息串的错误和自动纠正错误而采用的技术。比方说从A点到B点发送一串信息，B点接收到了信息时，A点并不知道B点收到的是否为原始数据，在传递的过程当中是否发生错误，B点也存在这类的问题，B点不知道收到的信息是否正确，为了解决这类问题就设计出了校验码；校验码就是通过增加一些冗余位的信息（判断规则），接收端收到的信息后判断是否原始信息，当中如果发现有错误，就是非法的二进制串。

码距：任何一种编码都由许多码字构成，任意两个码字之间最少变化的二进制位数就称为数据校验码的码距。码距越大，检错能力越强。

例如，用4位二进制表示16种状态也就是有16个不同的码字，此时码距为1，如0000与0001。码距为1时，不具备检错能力。因为4位二进制传输取出之后，无论如何变化，所收到的还是一个4位，而4位最多表示16种状态同时也是合法的，所以说无论发生什么样的错误，对方收到的都是一个合法的二进制编码，当然同时它并不是发出的原始数据。要具备检错能力，码距要大于等于2。比方说，用4位二进制表示8种状态，这个时候就可以达到码距大于等于2，如果其中1位发生错误的话，可能就会变为另一种码字，接收端收到信息进行读取根据规则判定不是合法的，因为只有8种状态是合法的，另外8种是非法的。

奇偶校验

奇偶校验码的编码方法是：由若干位有效信息(如一个字节)，再加上一个二进制位(校验位)组成校验码。

奇校验：整个校验码(有效信息位和校验位)中“1”的个数为奇数。

偶校验：整个校验码(有效信息位和校验位)中“1”的个数为偶数。

奇偶校验不能判断具体是哪一位发生了错误和纠正错误，纠正错误首先建立在能够知道具体是哪一位发生错误的前提。

例如，二进制串有效信息位是10001100，若是采用奇校验，校验位应该加个0为100011000，因为1的个数要保持奇数个（补充：如果是偶校验它的校验位应该加1为100011001，才能保持1的个数为偶数个。）。对于这一串校验信息，如果从A点传递到B点，在B点接收到的情况下，可能是100011000，此时再将校验位去掉得到有效信息位。如果约定的是奇校验，接收端会检查1的个数是否为奇数。若为奇数，就认定这个校验码在传输的过程当中没有发生错误。若为偶数，比方说100011100，采用奇校验判定有错误。但是两位发生了错误，他就检测不出来。对于奇校验它不能检测偶数位发生的错误。偶校验同理。

循环校验码CRC

CRC编码：具有非常强的连续多位检错纠错能力的校验码，CRC校验码被广泛应用于计算机当中。在k位信息码之后拼接r位校验码。应用CRC码的关键是如何从k位信息位简便地得到r位校验位(编码)，以及如何从k+r位信息码判断是否出错。

循环冗余校验码编码规律如下：

1. 把待编码的N位有效信息表示多项式M(X)；
2. 把M(X)左移K位，得到M(X)*X^k的,这样空出了K位，以便拼装K位余数(即为校验位)：
3. 选取一个K+1位的产生多项式G(X),对M(X)*X^k的做模2除：
4. 把左移K位以后的有效信息与余数R(X)做模2加减，拼接为CRC码，此时的CRC码共有N+K位。

循环冗余校验码的判定：把接收到的CRC码用约定的生成多项式G(X)去除，如果正确，则余数为0；如果某一位出错，则余数不为0。不同的位数出错其余数不同，余数和出错位序号之间有唯一的对应关系。

模2除法是指在做除法运算的过程中不计其进位的除法。例如，10111对110进行模2除法为：

例：原始报文(信息码)为“11001010101”，G(X)=X⁴+X³+X+1，对其进行CRC编码后的结果为？

分析：CRC编码的过程，原始报文加上校验位与多项式进行模2除法得出CRC。已知校验码为4位，在11001010101补上4个0得到110010101010000，G(X)=X⁴+X³+X+1=2⁴+2³+2+1,G(X)-1=K，110010101010000与11011做模2运算。结果为：0011。

海明码校验码

海明校验码（多重奇偶校验）的原理是：有效信息位中加入几个校验位形成海明码，使用码距比均匀地拉大，并把海明码的每个二进制位分配到几个奇偶校验组中。当某一位出错后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现错误，还能指出错误的位置，为自动纠错提供了依据，但海明码不能多位出错，多位出错将无效。r表示校验位的位数，m表示有效信息位的位数。海明码位数不等式：

2^r≧m+r+1

借助例子了解海明码。例：求信息1011的海明码。

（1）2^r≧4+r+1，确定校验码至少为3位2³≧4+3+1。校验码是3位，信息码是4位，整个校验码就为7位。其中1、2、4是校验码信息，3、5、6、7是信息位的信息。校验码的填充位置为1、2、4、8、16以此类推的位置。

（2）列出校验位公式。

7=2²+2¹+2⁰，6=2²+2¹，5=2²+2⁰，3=2¹+2⁰；

（3）根据公式得r₂=0,r₁=0,r₀=1。

（4）将数据加入表格，如表所示。

得到海明码为1010101。