【欧拉函数】 poj2407 Relatives（裸欧拉函数）

欧拉函数：对于一个正整数n，是小于或等于n的数中与n互质的数的数目，记作φ(n) 。

Euler函数表达通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有                   质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数：若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

                    若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)，对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉公式的延伸：小于或等于n的数中与n互质的数所有之和是φ(n)*n/2。

欧拉函数其它性质：

   设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

欧拉函数的代码实现：

1.直接求解

int euler(int n){    int cnt=n;    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)        if(n%i==0)        {            cnt-=cnt/i;            while(n%i==0)                n/=i;        }    if(n>1) cnt-=cnt/n;    return cnt;}

2.筛法求解

//筛选法打欧拉函数表#define Max 1000001int euler[Max];void init(){    euler[1]=1;    for(int i=2; i<Max; i++)        euler[i]=i;    for(int i=2; i<Max; i++)        if(euler[i]==i)            for(int j=i; j<Max; j+=i)                euler[j]-=euler[j]/i;}

poj2407  

Relatives

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Description

Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.

Input

There are several test cases. For each test case, standard input contains a line with n <= 1,000,000,000. A line containing 0 follows the last case.

Output

For each test case there should be single line of output answering the question posed above.

Sample Input

7120

Sample Output

64

求euler(n)

#include<stdio.h>#include<math.h>int euler(int n){    int cnt=n;    int i;    for(i=2; i<=sqrt(n); i++)        if(n%i==0)        {            cnt-=cnt/i;            while(n%i==0)                n/=i;        }    if(n>1) cnt-=cnt/n;    return cnt;}int main(){    int n;    while(~scanf("%d",&n)&&n)    {        printf("%d\n",euler(n));    }    return 0;}