夕拾算法进阶篇：3)快速幂(二分)

问题引入：

给定三个正整数a、b、m (a<10⁹,b<10¹⁸,1<m<10¹⁹),求(a^b)%m

快速幂基于二分的思想，其步骤如下

(1)如果b是奇数，那么有a^b=a*(a^b-1)

(2)如果b是偶数，那么有a^b=a^b/2*a^b/2

举个例子，如果要求2^10

(1)对于2¹⁰来说，由于次幂10为偶数，因此需要先求2⁵，然后有2¹⁰=2⁵*2⁵

(2)对于2⁵来说，由于次幂5为奇数，因此需要先求2⁴，然后有2⁵=2*2⁴

(3)对于2⁴来说，由于次幂4为偶数，因此需要先求2²，然后有2⁴=2²*2²

(4)对于2²来说，由于次幂2为偶数，因此需要先求2¹，然后有2²=2¹*2¹

(5)对于2¹来说，由于次幂1为奇数，因此需要先求2⁰，然后有2¹=2*2⁰

(5)2⁰=1，然后从下往上依次回退计算即可。

然后再了解下几个关于模运算与基本四则运算的性质

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p

利用公式(a * b) % p = (a % p * b % p) % p和之前的分析给出如下的代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;binaryPow(int a,int b,int m){if(b==0) return 1; if(b & 1){ //b若是奇数return a*binaryPow(a,b-1,m)%m;}else{int mul=binaryPow(a,b/2,m); //只递归1次求该值return mul*mul%m;}}int main(){int n,m=10,a,b,N;cin>>N;while(N--){cin>>n;b=n;a=n%m; //a为n进行m取余 cout<<binaryPow(a,b,m)<<endl;}} 

题目来源：http://www.codeup.cn/problem.php?cid=100000585&pid=3