2017.1.13训练总结

Problem 0

给出一个长度为n的序列a[1..n]，将其变成序列b[1..n]的代价为∑ni=1|a[i]−b[i]|，要使b[1..n]成为一个不下降序列，问最小的代价
1≤n≤104

Solution

这道题和之前做过的一道题很像，我的做法是用splay维护dp的数组，打了二十多分钟，还挺顺的。

Problem 1

要求动态维护两个01背包问题，第一个要求不同编号的物品视为不同物品，第二个要求同样大小的物品视为相同的物品。
所有的数据均在10000以内

Solution

由于是记数类问题，于是我们可以往生成函数那方面想。
首先对于第一个问题：不同编号的物品视为不同物品
考虑生成函数，对于加入一个大小为p的物品，显然，我们将多项式乘上(1+xp)
利用以下伪代码：

for i = MAX --> p     f[i]<--f[i]+f[i-p]

对于删除一个大小为p的物品，就是说我们要除以(1+xp)
考虑前者的代码，我们如何能够逆着做这样的操作，对于一个f[i]，假设f[1..i-1]已经是除掉之后的结果，那么只需要减去f[i-p]
伪代码如下：

for i = p --> MAX    f[i]<--f[i]-f[i-p]

对于第二种问题：大小相同的物品视为同样的物品
假设有n种物品，第i种物品大小为p[i]，数量为cnt[i]
那么我们的生成函数就是Πni=1∑cntij=0xj×pi
观察后面的式子，等比数列求和一下得到:Πni=11−x(cnti+1)×pi1−xpi
于是我们插入一个数大概是乘上一个1−x(cnti+1)×pi1−xcnti×pi
删除就直接反过来就好了
那么这个要怎样做，我们观察式子，发现乘上与除以的都是这样的形式:1−xt
而在第一种问题中我们的是乘以和除以1+xt的形式
那么我们只要将加减号反过来就好了
最后就可以用O(n)的时间来维护一个修改
总的时间复杂度是O(n2)

Problem 2

平面直角坐标系中，有n个点，一个可行的建筑是指，有一个中心（整点，不一定是n个点之中的点），有若干个对角线分别平行于x轴和y轴且定点是n个点之中的点的四边形以这个中心为对角线交点，并且四边形各不相交，一个建筑的指数是指四边形的个数。求最大的建筑指数，最大建筑指数的中心点个数，最大建筑的个数。

Solution

首先考虑第一个要求的答案：最大的建筑指数。
先离散化，然后我们可以用扫描线加线段树来做。
按x轴扫描，然后对于该x上每两个相邻点之间，我们可以直接知道上下的点个数的影响，问题就是左右的点个数的影响，这个用线段树维护，由于只有n个点，那么每次扫到一个点时就将它加到左边，然后更改线段树上的值，那么求第一个答案，就只需要在相邻两个点之间查询一个最大值就好了，对于一个原来的点为中心的情况，我们可以直接计算。
然后同时处理第二个和第三个答案：中心个数和建筑个数
类似对第一个答案的处理方法，我们同样使用扫描线和线段树。
与上面不同的是，我们线段树维护了y轴一个区间内左右较小值是否大于等于ans1，如果是那么还有一个维护用于求第三个答案的组合数的和。那么对于两个相邻点之间，同样可以知道上下的点个数的影响，于是我们就可以直接算，对于点为中心，类似。
思路挺显然的，但是打的时候要注意常数，好多人因为常数问题过不去 ，大概就是扫描线不要扫太多次了，然后其实第二次的扫描中是可以用树状数组的，还有线段树的要注意一下。

真~总结

好了这里才开始扯总结，晚上这么晚打总结也是没谁了。
今天主要出现的问题是前面浪费了好多时间，一开始做第一题时看着很眼熟，大概推了一下以为是直接贪心就过去了，然后第二题看到70分部分分就直接认定要先敲完70分，第三题看完之后很快就想到了正解，感觉不是很麻烦，然后开始敲第二题，由于一开始用了multiset，然后没有注意到erase会把所有为这个值的元素都删除掉，然后错了一会没找出来。
最后开始打第一题时只剩下一个半钟了，然后发现自己想错了，最后还是想到了splay的做法，很快打完，但是大数据过不了，打了对拍之后，发现有一个下标写错了。
只剩下很少时间，匆匆打完最后一题三十分就收尾了。
接下来的训练里还是要抓紧一下时间，不要浪费太多时间了。