最大子矩阵和

前言：

今日在打比赛时遇到了一道求最大子矩阵的题目，对于渣渣的我非常困难。在网上查找，发现很少有博客是讲得清晰的。所以决定自作一篇有关于此的博客。

题目：

给定一个矩阵，都是整数，其中(n≤500)，求出其中的最大子矩阵

解题思路：

O（n^2*n^2*n^2）的做法：

很容易想到，可以枚举一个矩阵的左上角和右下角的坐标确定这个矩阵，然后，再用两个循环进行统计

O（n^2*n^2）的做法：

对于上面的方法，提前处理一个前缀和，即可省去后面统计的时间复杂度。

正解，即O（n³）事实上并没有这么多：

想要做对这道题，我们先要明白一个最大子段和算法的做法：

例如数字a={8,-2,3,-11,5}，我们需要求出一段连续数字的最大和是什么

我们的思想是DP

设f[i]表示从1~i这些位置中的最大子段和

如何转移？对于当前的点i，我们只有两种状态，选择与上一个子段和连接或者自己重新构成一个字段和。

若选，则与1~i-1的最大字段和有关系，即1~i-1的最长字段和加上当前的a[i]，重新构成一个子段和

若不选，则与1~i-1最大子段和没有关系，自己重新构成了一个字段和

两者取之小者，亦可解决

列出状态转移方程：f[i]:=max(a[i],f[i-1]+a[i])

时间复杂度 O(n)

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有了前面的铺垫，那么这道题就容易多了。

我们可以根据最大子段和，求出最大子矩阵和，无非就是1维改成了2维

我们先选择一连串几行数，把他们每一列累加起来，即最大子段和中的a数组（这里可以用前缀和实现），然后按照如上做法实现即可。

对于选择一连串行数，我们需要两个循环

i表示选择多少行连续的数 O(n)

j表示从第j行开始往下选i行 O(n)没有这么多

最后做一次最长子段和O(n)，即O(n³)

代码实现：

uses math;var        n,m,i,j,k,maxnum,maxn,ans:longint;        a,s:array[0..500,0..500] of longint;        f:array[0..500] of longint;begin        readln(n,m);        for i:=1 to n do                for j:=1 to m do                begin                        read(a[i,j]);                        s[i,j]:=s[i-1,j]+a[i,j];//前缀和                end;        for i:=1 to n do                for j:=1 to n-i+1 do//如上                begin                        fillchar(f,sizeof(f),0);                        maxnum:=0;                        for k:=1 to m do//最大子段和                        begin                                f[k]:=max(f[k-1]+s[j+i-1,k]-s[j-1,k],s[j+i-1,k]-s[j-1,k]);                                if f[k]>maxnum then                                        maxnum:=f[k];                        end;                        if maxnum>maxn then                                maxn:=maxnum;                end;        writeln(maxn);end.

若有不懂的地方可以在下方评论中提出来。