http://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/44102963 hdu 4035经典概率dp求期望

求期望要用到全期望公式来来分类讨论：

k[i]:表示死掉回到1的概率

e[i]:表示成功逃走的概率

那么我们设定随机变量Ｘ：在节点i处开始，逃走所走的边数

那么E[i]就是从节点i开始，要逃走的边数的期望

如果i是叶子节点：

E[i] = k[i]*E[1] + e[i]*0 + (1-k[i]-e[i])*(E(parent(i))+1); (1)
如果i不是叶子节点：

与i相连的节点的总数为m，j是i的孩子节点
E[i] = k[i]*E[1] + e[i]*0 + (1-k[i]-e[i])/m*(E(parent(i))+1) + (1-k[i]-e[i])/m*sum(E[j]+1); (2)

为了简化计算过程，我们设Ａi = k[i] , Bi = (1-k[i]-e[i])/m , Ci = Bi*sum(E[j]+1)+Bi;

那么E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[p]+ Ci;　(3)

导出E[j] = Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj; (4)
进而得到sum(E[j]) = sum ( Aj*E[1] + Bj*E(i) + Cj ) (5)

把(5)代入到(3)中得到

E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[p] + Bi*sum(Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj + 1 ) + Bi (6)

=>(1-(1-ki-ei)/m*SUM(Bj))*E(i)=(ki+(1-ki-ei)/m*SUM(Aj))*E(1)+(1-ki-ei)/m *E(father)+(1-ki-ei+(1-ki-ei)/m*SUM(cj));
所以与上述2式对比得到:

Ai=(ki+(1-ki-ei)/m*SUM(Aj)) / (1-(1-ki-ei)/m*SUM(Bj))

Bi=(1-ki-ei)/m / (1-(1-ki-ei)/m*SUM(Bj))

Ci=(1-ki-ei+(1-ki-ei)/m*SUM(cj)) / (1-(1-ki-ei)/m*SUM(Bj))

所以Ai,Bi,Ci只与i的孩子Aj,Bj,Cj和本身ki,ei有关

于是可以从叶子开始逆推得到A1,B1,C1

在叶子节点：

Ai=ki;

Bi=(1-ki-ei);

Ci=(1-ki-ei);

而E(1)=A1*E(1)+B1*0+C1;

=>E(1)=C1/(1-A1);

当Ａ趋近于１时，那么无解，精度卡到1e-9才能过