矩阵第五章复习总结

目标：学习矩阵序列的收敛性、矩阵函数的计算（相似对角化法、Jordan标准形、数项级数法）

其实，关于这一单元我们学习的知识点也不是很多，考试的时候只是一个题型。

一、矩阵序列与矩阵级数

矩阵序列的线性性（即齐次性）、可逆性、收敛性（通过矩阵序列与极限的范数趋近于0判断）

A为收敛矩阵的充要条件是谱半径<1.(矩阵的谱半径可以通过最大特征值估算，或者特征值估计的各种方法来求：比如谱半径小于最大绝对行/列和）

矩阵序列的收敛性：利用部分和，大收（敛）收小收（敛），小发（散）大发（散）。

矩阵幂级数收敛判断：如矩阵收敛半径为r（通过a k/a k+1求），若谱半径小于收敛半径则收敛，否则则发散。

二、矩阵函数

由上一节的矩阵幂级数演化而来，收敛性同样满足：若谱半径小于收敛半径则收敛，否则则发散。

如何将一个矩阵函数转换为幂级数的形式，列表如下：

2）矩阵函数值的计算

三种方法:

1.当矩阵是可逆方阵时，利用相似对角化的方法

   先计算特征值、特征向量。

2.当矩阵不可逆，即不是n个特征值时，任意矩阵可用Jordan标准形法

   设A的Jordan标准形为J，则有可逆矩阵P，使：

3.数项级数求和法

  将一个矩阵幂级数转化为m个数项级数的求和问题，此时利用矩阵函数幂级数展开式（图2）比较简单。

性质：

注意：不满足交换律（除非满足AB=BA）!!!

特殊性质：

矩阵的微分积分，一阶线性常系数微分方程这一块没有讲~