KMP算法详解

首先明确：KMP算法就是判断字符串P是否在字符串T中出现，若出现则返回出现的位置。（可不是放电影的窝~）
最朴素的思路就是一位一位的比较，但是这样做时间效率差，最差可以达到length(P)*length(T)，无法忍受（PS：这仅仅是最差的情况，实际上如果是随机数据的话，它的效率也可以忍受，甚至可能非常好）。
那么朴素算法的问题出在哪里呢？让我们举个例子。
T：ABCDEFGAIJK
P：ABCDEGG
可以发现，当P匹配到第6位时失配了（F≠G）。朴素算法很简单，把P后移一位继续比较。但是实际上，当P[1]对准T[2]时，我们早就知道一定不会匹配——在P[1]对准T[1]时是匹配的，说明T[2]肯定是B，而P[1]是A，所以不用再比较了。同理，后面的几位也不需要比较了，只有到第8位时才可能匹配上。
KMP算法对于穷举算法的优化就体现在这一点上。
可是怎么快速的知道有多少位肯定无法匹配呢？
假如我们知道应该移动x位。
根据上面的描述，我们发现，移动x位之后的第一位一定和P[1]相等（除非已无法找到匹配）。实际上，第二位、第三位、第四位……直至第length(P)位都可能相等。总结一下就是说，字符串P的一段前缀和它的一段后缀相等。说简单些，就是移动x位后可以比较位置i时，P的前i-1个位置必须满足长度为i-x-1的前缀与后缀相同。为了做到这一点，我们用next[i]来表示P的前1~i个字符中前缀与后缀的最长公共子串的长度。
下面默认字符串的下标从0开始。
首先可以想到，next[0]=next[1]=0。
于是我们知道了next[0]~next[i]，要求出next[i+1]。
如果P[i]=P[next[i]]，不难想到next[i+1]=next[i]+1，这一步不解释。
如果P[i]≠P[next[i]]，就有些复杂了。这时候我们将长度为next[i]的字符串继续分割，得到最大公共子串长度j=next[next[i]]，然后再和P[i]比较。若相等，则next[i+1]= j+1，否则就继续分下去直到j为0。
于是我们可以写出代码：

void GetNext(char* P,int* next){  int m=strlen(P);  next[0]=0;next[1]=0;  for (int i=1;i<m;i++){    int j=next[i];    while (j && P[i]!=P[j]) j=next[j];    next[i+1]= P[i]==P[j] ? j+1 : 0;  }}

next数组求好后，匹配就非常简单了。实际上，匹配的过程和求next的过程基本一样，因为next数组几乎就是“自己匹配自己”。比方说现在正在第i+1个位置出现了不匹配，我们还是要把长度为i的字符串分解，得到最大公共子串的长度next[i]，然后顺着“失配边”一直走下去。代码见下：

void find(char* T,char* P,int* next){  int n=strlen(T),m=strlen(P);  GetNext(P,next);  int j=0;  for (int i=0;i<n;i++){    while (j && P[j]!=T[i]) j=next[j];    if (P[j]==T[i]) j++;    if (j==m) printf("%d\n",i-m+1);  }}

如果失配的时候一直向左走，会不会使算法变慢呢？实际上是不会的，因为最坏情况下j++了n次，故j最多可以减小n次（因为j不会是负数），即j=next[j]的次数不会超过n，所以时间复杂度为O(N)。
KMP算法的总时间复杂度为O(n+m)。n和m分别为T和P的长度。