树状数组基础

与其说是写博贴，不如说是做个总结。几个月前接触了树状数组，首先的感觉是好神奇啊！用那么简单而优美的几行代码就实现了那么强大的功能！mogicmagic啊！一直都很崇拜发明树状树组的人。可惜后来因为被抓去刷文化课去了，就一直没有彻底搞懂树状数组。这几天放假，终于把这个优美的玩意搞清楚了，在这里做个总结。好了，废话少说，开始吧。

一、树状数组是什么？能干啥？能吃吗？

首先，不能吃！

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。              百度百科

说人话

 平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比如，修改某点的值、求某个区间的和。一般的暴力，修改的复杂度是O(1)，查询的复杂度是O(N)。如果在线的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后肯定会爆炸！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)。厉害啊！

二、树状数组如何实现？

我们先来看张图。这张图是已经用烂了的，也不存在雷不雷同了。

c就是我们为a数组构建的树状数组。来看看规律。容易看出，c[8]表示a[1]~a[8]的和，c[4]表示a[1]~a[4]的和，c[2]表示a[1]~a[2]的和......是不是有种二分的感觉？那树状树组到底是怎么做到的呢？

我们从现在开始，所有的数都用二进制来表示。我们先引入一个概念：lowbit。一个数k的lowbit值就是这个数去掉所有高位的1，只留下最低位的1。比如，0110的lowbit就是0010，0100的lowbit就是0100，0011的lowbit就是0001。lowbit(k)是怎么求的呢？非常简单，就是把k与上-k，即lowbit(k) = k & -k。比如k = 1010，那么-k就是把k取反加1（这是计算机中的补码），即0101 + 1 = 0110，那么k & -k就是1。为什么呢？因为取反后，k的每一位都与取反的k不一样，这时再把取反的k加上1，即-k，那么就能保留下最后一位的1。如果还不明白的话，读者可以自己举几个例子试一试。

好，神奇的地方出现了！我们发现，设c[i]父亲节点为c[j], 那么j = i + lowbit(i)！！比如0001 + 0001 = 0010，0011 + 0001 = 0100，0110 + 0010 = 1000！请记住这个神奇而重要的性质！它在下面的算法中非常重要！至于这个性质的数学证明，请读者自行完成。

那么我们容易发现，如果要更新c[0001]，那么我们也要更新c[0010]、c[0100]、c[1000]，即它的所有祖先。那么可知，如果要更新c[k]，那么要接着更新c[k+lowbit(k)]以及其它祖先。还不懂？上代码！

//第k个数增加x  O(lgn)void updata(int k, int x) {    while(k <= n) {            c[k] += x;            k += lowbit(k);    }}

我们已经会更新了，那查询呢？很简单，把上面的更新直接逆过来写。不多说，上代码！

//求1 ~k的和 O(lgn)int query(int k) {    int ans = 0;    while(k) {        ans += c[k];        k -= lowbit(k);    }    return ans;}

那么，求a~b的和，就直接query(b) - query(a-1)就行了。

附上完整代码

#include<iostream> #include<cstdio>using namespace std;#define N 100001int n;int c[N];int lowbit(int k) {return k & -k;}void updata(int k, int num) {while(k <= n) {c[k] += num;k += lowbit(k);}}int query(int k) {int ans = 0;while(k) {ans += c[k];k -= lowbit(k);}return ans;}int main() {cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++) {int a;scanf("%d", &a);updata(i, a); }int m;cin >> m;while(m--) {int op;int x, y;scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);if(op == 1)updata(x, y);elseprintf("%d\n", query(y) - query(x-1));}return 0;}