图论（七）哥尼斯堡七桥问题

1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁士的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加里宁格勒）。普瑞格尔河正好从市中心流过，河中心有两座小岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。

欧拉发现当地居民有一项消遣活动，就是试图每座桥恰好走过一遍并回到原出发点，但从来没人成功过。

欧拉证明了这种走法是不可能的。现在看来，欧拉的证明过程非常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了一个新的学科：图论(Graph)。

如今，无论是数学、物理、化学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、经济乃至社会科学的众多问题，都可以应用图论方法予以解决。图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之一）。

首先能想到的证明方法是把走七座桥的走法都列出来，一个一个的试验，但七座桥的所有走法共用7！=5040种，逐一试验将是很大的工作量。欧拉作为数学家，当然没那样想。欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每一座桥抽象成连接顶点的一条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下面的图：

假设每座桥都恰好走过一次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开。进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

而上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点D的相连边为5，都为奇数。因此，这个图无法从一个顶点出发，遍历每条边各一次。

欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是一个逻辑证明。一个曾难住那么多人的问题，竟然是这样一个简单的出人意料的推理，还开创了一个新的学科。欧拉非常巧妙的把一个实际问题抽象成一个合适的数学模型，这种研究方法就是我们应该掌握的数学模型方法。这并不需要运用多么深奥的理论，但能想到这一点，却是解决问题的关键。