BZOJ 3527[Zjoi2014]力 FFT

题目链接:BZOJ3527
第一次学会如何写数学公式，虽然只是简单的入门，但还是有点激动。。。
首先这个题很明显是多项式乘法，但是强迫症的我过于纠结下标，以至于困惑了好久，简直SB。

注:下标均从0开始。
现在进入正题。

Fj=∑i<jqiqj(i−j)2−∑i>jqiqj(i−j)2

现在我们转化一下:记住下标从0开始

Fj=∑i=0j−1qiqj(i−j)2−∑i=j+1n−1qiqj(i−j)2

Ej=Fjqj=∑i=0j−1qi(i−j)2−∑i=j+1n−1qi(i−j)2

记f(i)=qi，g(i)=1i2，其中g(0)=0有

Ej=∑i=0j−1f(i)∗g(j−i)−∑i=j+1n−1f(i)∗g(j−i)

等号右边第一个式子∑j−1i=0f(i)∗g(j−i)=∑ji=0f(i)∗g(j−i)，就是卷积的形式，直接FFT算即可。

等号右边第二个式子∑n−1i=j+1f(i)∗g(j−i)=∑n−1i=jf(i)∗g(j−i)=∑n−j−1i=0f(i+j)∗g(i)
倒序处理，令h(n−1−i−j)=f(i+j)，有∑n−j−1i=0f(i+j)∗g(i)=∑n−j−1i=0h(n−1−i−j)∗g(i)，记为Xi=∑n−j−1i=0h(n−1−i−j)∗g(i)，则Xn−j−1=∑ji=0h(j−i)∗g(i)，也是卷积的形式，直接FFT即可。
最后Ej=∑ji=0f(i)∗g(j−i)−Xn−j−1，其中∑ji=0f(i)∗g(j−i)与Xn−j−1均可由FFT直接算的，题目即可解决。
代码如下:

/**************************************************************    Problem: 3527    User: sfailsthy    Language: C++    Result: Accepted    Time:3764 ms    Memory:17680 kb****************************************************************/#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;const int maxn=262200+10;const double PI =acos(-1.0);struct Complex{    double real,image;    Complex(){        real=image=0.0;    }    Complex(double a,double b){        real=a;        image=b;    }    Complex operator + (const Complex &s) const{        return Complex(real+s.real,image+s.image);    }    Complex operator - (const Complex &s) const{        return Complex(real-s.real,image-s.image);    }    Complex operator * (const Complex &s) const{        return Complex(real*s.real-image*s.image,real*s.image+image*s.real);    }}x1[maxn],x2[maxn],A[maxn];int n,rev[maxn];double a[maxn/2],b[maxn/2],c[maxn/2];void init(int &len,int len1,int len2){    int k=1,L=0,r,t;    while(k<2*len1||k<2*len2){        k<<=1;        L++;    }    len=k;    for(int i=0;i<len;i++){        t=i,r=0,k=L;        while(k--){            r<<=1;            r|=t&1;            t>>=1;        }        rev[i]=r;    }}void FFT(Complex x[],int len,int op){    Complex u,t;    for(int i=0;i<len;i++){        A[rev[i]]=x[i];    }    for(int i=0;i<len;i++){        x[i]=A[i];    }    for(int k=2;k<=len;k<<=1){        Complex wn(cos(2*PI/k*op),sin(2*PI/k*op));        for(int i=0;i<len;i+=k){            Complex w(1,0);            for(int j=0;j<k/2;j++){                u=x[i+j];                t=w*x[i+j+k/2];                x[i+j]=u+t;                x[i+j+k/2]=u-t;                w=w*wn;            }        }    }    if(op==-1){        for(int i=0;i<len;i++){            x[i].real/=len;        }    }}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=0;i<n;i++){        scanf("%lf",&a[i]);    }    for(int i=1;i<n;i++){        b[i]=1.0/i/i;    }    int len,len1=n,len2=n;    init(len,len1,len2);    for(int i=0;i<len;i++){        x1[i]=Complex();        x2[i]=Complex();    }    for(int i=0;i<len;i++){       x1[i]=Complex(a[i],0);       x2[i]=Complex(b[i],0);    }    FFT(x1,len,1);    FFT(x2,len,1);    for(int i=0;i<len;i++){        x1[i]=x1[i]*x2[i];    }    FFT(x1,len,-1);    for(int i=0;i<n;i++){        c[i]=x1[i].real;    }    for(int i=0;i<len;i++){        x1[i]=Complex();        x2[i]=Complex();    }    for(int i=0;i<n;i++){        x1[i]=Complex(a[n-1-i],0);        if(i) x2[i]=Complex(b[i],0);    }    FFT(x1,len,1);    FFT(x2,len,1);    for(int i=0;i<len;i++){        x1[i]=x1[i]*x2[i];    }    FFT(x1,len,-1);    for(int i=0;i<n;i++){        c[i]-=x1[n-1-i].real;    }    for(int i=0;i<n;i++){        printf("%.3lf\n",c[i]);    }    return 0;}