0x5f3759df这个快速开方中的常数的数学依据和原理

来源：互联网发布：mac wine怎么用编辑：程序博客网时间：2024/06/07 01:04

Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。

该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。

最近，QUAKE的开发商ID SOFTWARE遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。

我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。

那么找到最底层的数学运算函数（game/code/q_math.c），必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。

在/code/game/q_math.c里发现了这样一段代码。

它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：

[cpp] view plain copy
 
float Q_rsqrt( float number )  
{  
    long i;  
    float x2, y;  
    const float threehalfs = 1.5F;  
  
    x2 = number * 0.5F;  
    y  = number;  
    i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking  
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?  
    y  = * ( float * ) &i;  
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration  
//  y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed  
  
#ifndef Q3_VM  
#ifdef __linux__  
    assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?  
#endif  
#endif  
    return y;  
}  

函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。

注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！

这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“what the fuck?”的一句：i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );

两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。

算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。

简单来说比如求平方根,f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x,f(x)/f'(x)=x/2,把f(x)代入x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2，现在我们选a=5,选一个猜测值比如2，那么我们可以这么算

5/2 = 2.5;

(2.5+2)/2 = 2.25;

5/2.25 = xxx;

(2.25+xxx)/2 = xxxx

...

这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)，没错，一般的求平方根都是这么算的，但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度.好吧如果这个还不算NB,接着看:

普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。

最后，给出最精简的1/sqrt()函数：

[cpp] view plain copy
 
float InvSqrt(float x)  
{  
    float xhalf = 0.5f * x;  
    int i = *(int *)&x;  
    i = 0x5f3759df - (i>>1);  
    x = *(float *)&i;  
    x = x * (1.5f - xhalf * x * x);  
    return x;  
}  

同时：

单精度的浮点数结构是这样：
那么现在，每个正浮点数 y 可以用尾数和指数的形式写成 $2^e(1+m)$ ，其中 m 是尾数部分，取值范围是 $[0, 1)$ ；e 是指数部分，一个整数。每个浮点数所对应的「整数形式」则可以用 $EL+M$ 表示，其中 L 是指数部分需要的位移次数（用 2 的幂表示），E 和 M 是指数部分和小数部分的整数版本。两者之间的关系是
$\left\{ \begin{array}{ll}E = e + B \\M = mL\end{array} \right.$
对单精度浮点而言， $L=2^{23},B=127$ 。

考虑对数 $\log_2 y=e+\log_2(1+m)$ ，由于 $m\in\left[0, 1\right)$ ， $\log_2(1+m)\in\left[0,1\right)$ ，取近似 $\log_2(1+m)\approx m+\delta$ ，可以算出整体「偏差」最小的 $\delta=0.0430357$ ，此时两者基本相当。因此我们可以说

$\log_2 y\approx e+m+\delta$ ……………… (1)

那么，对于 y 的整数形式 Y 而言，展开并带代入 (1) 有：
$Y & = & EL+M\\&= &L(e+B+m) \\& \approx & L(\log_2 y + B - \delta)$
即

$\log_2 y\approx {Y \over L}-(B-\delta)$ ………………(2)

那么对于 $y'={1 \over \sqrt{y}}$ 来说， $\log_2{y'}\approx -{1\over 2}\log_2 y$ ，代入 (2) 得：
${Y' \over L}-(B-\delta)={1 \over 2}\left[(B-\delta)-{Y\over L}\right]$
解得
$Y'={3 \over 2}L(B-\delta)-{1 \over 2}Y$ 。
这个就是代码

i  = 0x5F3759DF - ( i >> 1 );

的秘密所在。0x5F3759DF 的具体取值是根据 δ 变的，至于卡马克为啥用 0x5F3759DF 而不是其他相近的值，估计是做实验测的吧……

同时：

假设原浮点数为0EM,

E为8位指数部分，M为23位尾数部分。

位操作的主要目的是为了让新的浮点数的e = -(e0)/2

我们知道E = e0+127

而我们想让位操作后的E'=-e0/2+127

右移一位可以得到：

E_s = E/2 = e0/2 + 127/2

如果我们用190去减E_s, 就可以得到

E_1 = 190-E_s=190-e0/2-63=-e0/2+127

而190正是这个魔法数的第31-23位。

因此这个魔法数帮助我们得到了正确的新浮点数的指数部分。小数部分则比较复杂，因为在原指数部分为奇数的情况下右移一位会无端端给尾数增加1/2，且相减后尾数可能会借用指数部分导致指数变小，因此通过调整尾数来修正。如需详细了解可参考这篇paper: http://www.lomont.org/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf

需要指出现在的Intel CPU已经提供快速rsqrt指令，所以无需自己去实现这个算法。

0 0