超星视频讲座笔记（2014-3-19,4-14,4-16,4-17,4-22,4-26）



 http://video.chaoxing.com/play_400007871_72199.shtml
 http://video.chaoxing.com/play_400015867_180013.shtml
 http://video.chaoxing.com/play_400050925_200402.shtml
 http://video.chaoxing.com/serie_400054119.shtml
 http://video.chaoxing.com/serie_400007882.shtml
 http://video.chaoxing.com/serie_400007900.shtml
 http://video.chaoxing.com/serie_400003971.shtml?
http://v.ku6.com/show/TGdXyRNqcmCKNwNKwAc6pg...html
有限域上的代数曲线
冯克勤主讲
1930s末，韦伊没有什么事，算一些代数曲线在有限域上有多少点。
韦伊算了两类曲线：  
(1)费马曲线 (x^n)+(y^n)=1
(2)Artin-Schreitr曲线
从美学角度，要加上无穷点。  
结论：对于绝对不可约，非奇异曲线，C/F_q，|N_q-(q+1)|<=2g(C)sqrt(q)。
1941年，Weil Conjecture，现在已经是韦伊定理了。
1948 年，由本人证明
先写了一本书《代数几何基础》证明这个韦伊猜想
高维猜想：1973年Deligne证明
代数几何发展阶段
1g初等代数几何，以意大利学派为高峰
2g交换代数
3g塞尔、格罗腾迪克、德利涅
应用部分
1.编码理论
1970s代数几何码
http://v.qq.com/cover/m/m9vforkigz4q0v5.html?vid=D0010XdAqvm
直线上的算术
x^(p^n)-x=0，
通常做法：
F_p[x]是PID
n次首1不可约多项式f(x)
Ω_q是F_q的代数闭包，Ω_q叫仿射直线，Ω_q∪{∞}叫射影直线。
老阿廷：
K=F_q(x)的指数赋值
K中的一个指数赋值是指如下一个
满射：V:K->Z∪{∞}
满足：a,b∈K，
1.V(0)=∞<=>（当且仅当）a=0，其它元素映射到Z
2.V(ab)=V(a)+V(b)（假定n∈Z，n+∞=∞+n=∞）
3.非阿基米德性：V(a+b)>=min{V(a),V(b)}（假定￥n∈Z，∞>n）
推论：
1.V:K^*->(Z,+)是群的满同态，V(1)=0
有限域上的线性代数的应用http://video.chaoxing.com/play_400001251_57488.shtml
沈灏教授主讲
两个应用：
1几何上的
2通信编码上的
深入浅出讲解群Group的概念
1个非空集合，
1个二元运算，名字叫乘法
满足若干公理
封闭
结合律
e和1发音相近，叫做单位元
逆元
群的例子：
全体正整数关于数的乘法：满足两条，不满足一条，不是群，是半群
集合扩大或缩小变为群？
全体正有理数的集合，二元运算用数的乘法，是一个群，正有理数a=m/n，a的逆元是n/m。
{1}关于数的乘法构成一个群，单位元群
全体整数关于数的加法构成一个群，抽象定义的乘法在这里是数的加法
全体偶数关于数的加法构成一个群
K^(n*n)上全体可逆矩阵关于矩阵乘法构成一个群。这个群太重要了，叫做数域K上的n阶一般线性群。
转动个角度看成一个元素，两个转动的合成叫乘法，这个群叫运动群或变换群。
Z_7\{0}=Z_7^*有6个元素，关于剩余类的乘法构成一个群。
这个群是交换群，这个群是有限群，阶为6。
乘法表里1不出现，就不构成群。例如Z_6^*
域
非空集合，至少有两个元素
1个加法，1个乘法
9条公理
4条公理一句话：F关于加法是一个交换群。
5-9条公理：F^*（F星）关于乘法是一个交换群。
第9条公理：乘法对加法的分配律。
F_2
0——偶数
1——奇数
两张表
用初等数论的一个结果证明F_p^*关于剩余类乘法构成一个交换群，从而F_p是一个域。
注意：费马小定理的某种证明用到了群论的结果。初等数论结果和群论结果的证明要避免循环论证的错误。
有限域上几维向量空间http://video.chaoxing.com/play_400001251_57492.shtml
数域上的内容转移到有限域上
F是域
F^(1*n)，n维行向量
定义向量加法、数乘（纯量乘法）两种运算
满足8条公理
构成F上的n维行向量空间
——F_q=F_p^n构成一个代数？
V_n(F_q)向量的个数为q^n个
找出n个极大线性无关向量
组合的方法：
α1取法q^n-1——非0向量即可
α2取法q^n-q——去掉q个与α1线性相关的
α3取法q^n-q^2——去掉q^2个与α1、α2线性相关的
……
结论：|GL(F_q,n)|=？
数域中没有、有限域中特有的计数问题
n阶可逆方阵的个数=秩为n的n阶方阵的个数<n阶方阵的个数=q^(n^2)
普通二项式系数
高斯二项式系数：计算一个有限维向量空间的子空间数。
q=2,n=3,k=1
(n上/k下)_q=7
构造一个n阶射影平面
F_q的3维空间的
1维子空间叫点
2维子空间叫直线
2、3、4、5、7、8、9阶射影平面的构造
6、10阶射影平面不存在
线性代数与纠错码http://video.chaoxing.com/play_400001251_57500.shtml
编码有两种：
信源
信道：再次编码，有了抗干扰能力
二元线性码
k维子空间C{<=}V_n(F_2)
n叫码长
c∈C叫码字，e∈V_n(F_2)叫字
http://video.chaoxing.com/play_400001251_57504.shtml
V_3(F_2)
用校验阵H生成的二元线性码，最小距离d=3，能纠正1个错
二元汉明码的最简单例子
汉明码1950年
信息论1948年
http://video.chaoxing.com/play_400000909_13536.shtml
丘维声教授主讲
群表示论
借用直角坐标系语言，笛卡尔集S×S
二元运算：S×S到S的一个映射
代数系统：具有各种运算的集合
7个子集是整数集的一个划分
Z_7={~0（0一杠）,~1,~2,~3,~4,~5,~6}
在Z_m中规定
~a+~b:=~(a+b)
~a~b=~(ab)
定义是合理的，不依赖于代表元的选择
可验证Z_m是一个环，称为模m剩余类环。
零元肯定是零因子，零因子不要求是非零元
Z_8中的零因子有：~0,~2,~4,~6
单位（可逆元）和单位元是不一样的
Z_8^*（Z_8星，把所有不可逆元去掉了，而不仅仅把零元去掉了）={~1,~3,~5,~7}只有一种运算乘法，加法不是
GL_n(F) 只有一种运算乘法，加法不是
研究群G的结构的一种途径是关于集合的划分与等价关系
等价关系：一个二元关系具有反身性、对称性和传递性
通常利用群G到一个集合Ω的全变换群S(Ω)的同态映射，这等价于群G在集合Ω上的作用。
S(Ω)由Ω到自身的所有双射组成。
群表示论是研究群G到各个线性空间的各个可逆线性变换的各种同态映射，以获取群G结构的完整信息。
丘维声：抽象调和分析本质上是群表示论。
群表示论的基本概念和Abel群的表示
http://video.chaoxing.com/play_400000909_13542.shtml
年满16周岁->唯一的18位整数
映射，原象，象
映射三要素：对应法则f，定义域（domain）A，培域（codomain）B，值域f(A)是陪域的子集
值域=陪域，则称f是满射（映上的）
即是满射，又是单射，则称f是双射
http://video.chaoxing.com/play_400000909_13982.shtml
群G到GL(V)（可逆线性变换群）的一个同态φ称为G在K上的一个线性表示，简称为G的一个K-表示。V称为表示空间。
若V有限维，
若V无限维，
若Kerφ={e}（单射），则称φ是忠实的；
若Kerφ=G，则称φ是平凡的。
若φ是1次的平凡表示，则称φ是G的主表示，记作1_G。
GL(V)≌GL_n(K)
定义2：群G到GL_n(K)的一个同态Φ称为G在K上的一个n次矩阵表示。
定义3：群G的两个K-表示(φ,V)和(Φ,W)称为是等价的，如果
1次表示
对任意g∈G，Φ(g)∈K^*，且Φ(gh)=Φ(g)Φ(h)
Φ(e)=1
K^*的单位元是1
G的单位元是e
例1：
求加法群(R,+)的1次实表示
任意给定a∈R
f_a(x)=e^(ax)
——得到了无穷多个1次实表示
例2：求实数加法群(R,+)的1次复表示
任给a∈R，f_a(x)=e^(iax)
大于1次的表示
例3：求实数加法群(R,+)的一个2次实矩阵表示
t |——> {{cost,-sint},{sint,cost}}
Φ(t+u)=Φ(t)Φ(u)
例4：求(R,+)的一个n次实表示
V=R_n[x]={R上次数小于n的多项式}
任给a∈R，找一个R_n[x]上的可逆线性变换T_a
令T_a(f(x))=f(x+a)
显然，T_a是R_n[x]到自身的一个映射
T_a 是R_n[x]到自身的一个可逆线性变换，T_-a是T_a的逆变换。
T_a∈GL(R_n[x])
令φ:(R,+)——>GL(R_n[x])
a |——> T_a
作业：
1.求(R,+)的2次实表示
2.求(R,+)的一个n次实矩阵表示
3.求(R,+)的一个无限维实表示
4.在上面例子和习题中，哪些表示是忠实的？
5.整数加法群的表示
构造n次K-表示的一般方法？
正三角形的对称性
G={I,σ,σ^2,τ_1,τ_2,τ_3}
令Ω={正三角形的点}
任P∈Ω ，任a∈G，有a(P)∈G
任a,b∈G，(ab)(P)=a(b(P))
I(P)=P
定义3：设G是一个群，单位元为e，Ω是一个非空集合，如果有映射
G×Ω——>Ω
(a,x) |——>a°x
且满足
那么称群G在集合Ω上有一个作用。
http://video.chaoxing.com/play_400000909_13993.shtml
§3群的线性表示的结构
设(φ,V)是群G的一个K-表示
如果V的一个子空间U是线性变换φ(g)的不变子空间，对任意g∈G，
那么称U是φ的不变子空间或G不变子空间。
φ_U:G——>GL(U)
g |——>φ(g)|U（φ(g)限制在U上）
易证φ_U是G的一个K-表示
称φ_U是φ的一个子表示
http://video.chaoxing.com/play_400004478_67280.shtml
选用聂、丁二位写的书
秦厚荣教授主讲
第一节讲伽罗瓦扩张
定义1.1：
第一个集合：域E的自同构群Aut(E)
——计算有限域的自同构群？
第二个集合：Aut(E/F)是Aut(E)的子群
定义1.2：
假设G是Aut(E)的子群
第三个集合Inv(G)：域E的子域，这个集合的元素叫做G的不动元
定义1.3：设K/F是域的扩张，如果Inv(Aut(K/F))=F，则我们称K/F是伽罗瓦扩张，且记Gal(K/F)=Aut(K/F)。
——现代大多数文献对Gal(K/F)、Aut(K/F)这两个符号作了区分
问题：Aut(R/Q)=？
例2，例如：
F=Q，K=Q(2^(1/3))={a+b(2^(1/3))+c(4^(1/3)),a,b,c∈Q}，Aut(K/F)={1}；
对任意σ∈Aut(K/F)，σ(2^(1/3))=(2^(1/3))=>σ=1，
(2^(1/3))是x^3-2=0的一个根，而x^3-2=0的另外两个根是(2^(1/3))ω,(2^(1/3))ω^2,ω=(-1+sqrt(-3))/2,ω^3=1。
Artin引理：
假设K是一个域，G是Aut(K)的一个有限子群，F=Inv(G)，则|G|>=[K:F]。
——K作为F上的向量空间的维数比G的阶数要小。
引理2：假设σ_1,…,σ_r是域K到E的r个不同的非平凡的同态，σ_1,…,σ_r在E上线性无关。
σ_1,…,σ_r在E上线性无关<=>若a_1,…,a_r∈E，a_1σ_1+…,+a_rσ_r=0，则a_1=…=a_r=0。
K->E叫同态不叫自同态
Inv表示不变作用的全体。
Artin引理的逆命题也是对的，是引理2的一个推论。
推论：假设{σ_1,…,σ_r}{<}Aut(E)，F=Inv{σ_1,…,σ_r}，则r<=[E:F]。
定理1：设E/F是有限Galois扩张，则|Gal(E/F)|=[E:F]。
Artin引理推出了>=
推论推出了<=
若有限群G{<}Aut(E)，F=Inv(G)（F表示G的不动域），则E/F是Galois扩张，且Gal(E/F)=G。
证明：定义讲的：Inv(Aut(E/F))=F=>E/F是Galois扩张。
E在F上的自同构群作用下的不变元素是一个域
F{>=}Inv(Aut(E/F))一定是对的
只需证明F{<=}Inv(Aut(E/F))
F是在G作用下不变元素的全体，F=Inv(G)
G{<=}Aut(E/F)
左边限制条件少，右边限制条件多
Inv(G){>=}Inv(Aut(E/F))
E/F是域的有限扩张，G{<}Aut(E/F)，若|G|=[E:F]，则E/F是Galois扩张，且Gal(E/F)=G。
http://video.chaoxing.com/play_400004478_67288.shtml
能称为基本定理的没有几个。
E——>{1}————————————————>E
|                                                          ↑
K——>H={σ∈G|σ(k)=k，对任意k∈K}——>Inv(H)
|
F——>G=Gal(E/F)
正规子群对应的扩张是伽罗瓦扩张，一般子群对应的是域扩张。
http://video.chaoxing.com/play_400004478_67293.shtml
多项式的伽罗瓦群
F是域，f(x)∈F[x]
设a_1,……a_n(n=degf(x))是f(x)的根。
多项式的根总可归结为不可约多项式的根
故可假定f(x)∈F[x]首1不可约
F[x]/(f(x))（一个环模掉它的极大理想）是域
F嵌到F[x]/(f(x))=E里面
E=F(a_1,……a_n)是f(x)的分裂域
E/F是伽罗瓦扩张
Gal(E/F)一定把一个根变为另一个根
Gal(E/F)称为f(x)的伽罗瓦群
把Gal(E/F)具体写出来？
σ∈Gal(E/F)
可以用S_n的元素来描述σ
把Gal(E/F)的元素看成是S_n里面的元素
把Gal(E/F)看成是S_n的子群，记为G_f
定理4：设f(x)∈F[x],degf(x)=n
任取σ∈S_n,则σ∈G_f<=>
任取φ(x_1,…,x_n)∈F[x_1,…,x_n]
若φ(a_1,…,a_n)=0，则φ(σa_1,…,σa_n)=0。
“=>”的证明显然：
 σ(φ(a_1,…,a_n))=0
F是域，f(x)∈F[x]，deg(f(x))=n
f(x)无重根，G_f表示f(x)的伽罗瓦群
定理5：G_f可迁（在f(x)=0的根上）<=>f(x)不可约
f(x)不可约，f(a)=0
f(x)=0的全部根
{σ_a|σ∈G_f}
G_f{<}S_n
[S_n:A_n]=2
G_f{<}A_n<=>f(x)的判别式D(f)在F内可开方（假设F的特征≠2）
f(x)无重根，设a_1,…,a_n是f(x)=0的全部根
定义Δ_f=∏[i<g](a_i-a_j)
Δ_f符号不确定
D(f)=Δ_f^2与选取无关系了
f(x)=ax^2+bx+c
有两根r_1,r_2
D(f)=(r_1-r_2)^2
f(x)=x^2+bx+c
D(f)=b^2-4c
D(f)在F内可开方=>f(x)=0的两个根都在F上，G_f=A_2
D(f)在F内不可开方=>G_f=S_2
http://video.chaoxing.com/play_400002353_42059.shtml
贺群教授主讲
古典微分几何——曲线、曲面的局部性质
用到的方法和工具：向量分析、向量代数、活动标架法、张量分析、外代数
向量代数在空间解析几何里面学过
向量加法：平行四边形法则或三角形法则得到
向量数乘：
向量减法：
数量积或内积：尖括号或点或不写
向量空间的八条公理
内积不存在结合律的情况
向量积：反交换律
贺群：外积是有结合律的，叉乘是不满足结合律
特殊的拉格朗日恒等式
三个向量的混合积是一个数量
长度可由内积表达，面积可由向量积表达，体积可由混合积表达。
研究对象是向量函数，避免采用y=f(x)，z=f(x,y)。
直线——线性的一元向量函数
平面——线性的二元向量函数
http://video.chaoxing.com/play_400002353_42058.shtml
第二章 曲线的局部理论
更强调曲线是作为一个映射而不是一个图象
参数曲线：是开区间到三维欧氏空间的连续映射（属于C^0类）
局部肯定是一一映射
一元向量函数，定义域用开区间(a,b)
把分量形式的曲线形式写成向量形式罢了
曲线可以分为C^1类，C^2类……C^∞类
C^k(k>=1)类正则曲线：r(t)∈C^k且r’(t)≠0对任意t∈(a,b)。
直线——正则
圆柱螺线r=(acost,asint,bt)——空间曲线，正则
http://video.chaoxing.com/play_400008907_111389.shtml
点群：O(3)的有限子群。
K=G∩SO(3)
K≠G
K=G
K?G
[O(3):SO(3)]=2
(-I_3)·SO(3)∪SO(3)=O(3)=SO(3)×{±I_3}
http://video.chaoxing.com/play_400201230_260001.shtml
教材是聂、丁二位的书
孙智伟教授主讲
代数方程求解史
(x+b/(2a))^2=b^2/4a^2-c/a,(a≠0)
http://video.chaoxing.com/play_400008049_86890.shtml
章璞教授主讲
G=S_3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}（3个元素的集合的1-1变换的全体）
——Aut(S_3)=S_3
(132)={{1,2,3},{3,1,2}}（把1变为3，把3变为2，把2变为1）
H={(1),(12)}=<(1,2)>
(13)·H={(13),(123)}≠
H·(13)={(13),(132)}
(13)(12)=(123)
(12)(13)=(132)
自己以前的笔记（2004.12.15-2009.9.2）：
----2p(p=3)阶非Abel群D_3=S_3=GL(2,F_2)的乘法运算表----
I*I=I I*fr=fr I*frr=frr I*f=f I*rr=rr I*r=r
fr*I=fr fr*fr=I fr*frr=r fr*f=rr fr*rr=f fr*r=frr
frr*I=frr frr*fr=rr frr*frr=I frr*f=r frr*rr=fr frr*r=f
f*I=f f*fr=r f*frr=rr f*f=I f*rr=frr f*r=fr
rr*I=rr rr*fr=frr rr*frr=f rr*f=fr rr*rr=r rr*r=I
r*I=r r*fr=f r*frr=fr r*f=frr r*rr=I r*r=rr
抽象的有限离散群{I,r,r^2,f,fr,fr^2}——具体的几何变换群——置换群——有限域上的矩阵群
群元编号——变换——置换写法1或写法2——群元的阶
0——I——(1)或(123)——1阶群元
1——fr=r^2f=rfr^2——(23)或(132)——2阶群元
2——frr=rf——(12)或(213)——2阶群元（rfrf=I）
3——r=fr^2f——(123)或(231)——3阶群元（r^3=I）
4——rr=frf——(132)或(312)——3阶群元
5——f=rfr——(13)或(321)——2阶群元（f^2=I）
注：对同一置换，有如下两种写法：
1.合法置换表达式能表示群元的阶——强调群元本身；
(231)不是一个合法的置换写法
3个对换（2-轮换）都是奇置换
偶置换、恒等置换(1)=(13)(13)
偶置换(123)=(13)(12)（表示先作用(13)=f，再作用(12)=frr，也即作用frrf=r）
=(12)(23)（frrf）=(23)(13)（fr^2f）
偶置换(132)=(12)(13)（也即作用ffrr=rr）
=(23)(12)（rffr=rr）=(13)(23)（frf=rr）
2.双行置换能表示正多边形的位置——强调群元的作用。