《概率统计与随机过程》——笔记1
来源:互联网 发布:java socket 心跳机制 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 09:35
第一章 随机事件的概率
1.1 随机事件与样本空间
1.1.1 随机试验与随机事件
试验:各式各样的科学实验或对某一事物的某种特性的观察。
随机试验:如果在相同的条件下可以重复进行,而且每次试验的结果事前不可预言,简称试验。
随机事件(事件):在试验中可能发生,也可能不发生的事件。
基本事件(样本点):试验中的每一个可能结果都是一个最简单的随机事件。
必然事件:在试验中必然会发生的事件。
不可能事件:在实验中不可能发生的事件。
1.1.2 样本空间
定义 1 试验E的全部基本事件组成的集合,称为试验E的样本空间,记为S。
试验E的基本事件是E的样本空间中的元素。基本事件又称为样本点。
——用集合论的有关知识来讨论事件间的关系和运算。
1.1.3 随机事件的关系与运算
若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A含于事件B,或称事件B包含事件A,记为
事件A与B至少有一个发生,称为A与B之和,记为
事件A与B同时发生,这一事件称为A与B之积,记为
若事件A与B不能同时发生,即
特别的,若
事件A发生而B不发生,这一事件称为A与B之差,记为
重要公式:
事件之间的运算,满足以下规则:
- 交换律
A+B=B+A,AB=BA - 结合律
(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC) - 分配路
(A+B)C=AC+BC,(AB)+C=(A+C)(B+C) - 德摩根公式 对于有限个或克烈无穷多个事件
Ai ,恒有∑iAi¯¯¯¯¯¯¯¯¯=∏iA¯¯¯i,∏iAi¯¯¯¯¯¯¯¯=∑iA¯¯¯i
1.2 概率的定义及性质
1.2.1 概率的古典定义
古典型随机试验(古典概型):样本空间只包含有限个基本事件,且每个基本事件发生的可能性相等。
定义 2 设试验E的样本空间
1.2.2 概率的几何定义
定义 3设几何概型的样本空间为S,A是含于S内的任意随机事件,即
——具有完全可加性(或称可列可加性)。
1.2.3 概率的统计定义
定义 4 设某试验重复做了n次,事件A共发生了
定义 5 若随着试验次数的增大,事件A发生的频率
1.2.4 概率的公理化定义
定义 6 设P(A)是定义在试验E的全体事件(包括
1. 对每一
2.
3. 对互不相容的
则称P(A)为事件A的概率。
性质如下:
4. 不可能事件的概率为0,即
5. 概率具有有限可加性,即若
6. 对任意事件A,有
7. 若
8. 对任意事件A,B有
1.3 条件概率与乘法公式
1.3.1 条件概率的概念
定义 7设A,B为试验E的两个事件,且
1.3.2 乘法公式
由条件概率的定义得
1.4 全概率公式与贝叶斯公式
1.4.1 全概率公式
定理 1设事件组
1.4.2 贝叶斯公式
定理 2设事件组
1.5 事件的独立性(较难理解)
定义 8 对任意两个事件A和B,若
定理 3 对任意事件A,B,且
定理 4 若事件A与B独立,则下列每对事件:
定义 9 若事件
若对任意整数
对于克烈无穷多个事件
注:两两独立不一定相互独立,但相互对立一定两两独立。
定理 5 若事件
实际中,事件的独立性常常根据经验来判断。一般地,若n个事件
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