论亲和图

 1 亲和图的定义

为研究因数和函数F(n)（正整数n除n以外的正因数之和）的性质以及完全数、相亲数对、多元亲和数链等问题，定义一个无限有向图——亲和图。

亲和图的顶点集与非负整数集一一对应，（下文中将用某非负整数指代它所对应的顶点），对顶点n，若F(n)=m，则从n到m连一条有向边（n指向m），注意1指向0，0指向自己。

由以上定义得知：

（1）亲和图的所有性质为正整数集固有，整个图随正整数集和因数定义的建立而确定。

（2）亲和图中每个顶点出度都是1；入度不确定。

（3）完全数6,28等引出的边指向自己。

（4）相亲数对（220,284）等在图中呈现为一个两元环（220指向284；284指向220）。

我们希望得到图的其他性质，但无限图是不可能完全画出的。我们采取以下两个手段：一方面，我们希望知道对给定的一个点，哪些点指向这个点；另一方面，由于点给定时，它引出的路线也唯一确定，我们希望追踪这条路线通向哪里。

2 入度求解

0的入度为2,0和1指向它。

1的入度为无穷大。因为一个数直接指向1当且仅当它为素数，而素数有无穷多个。

对于0、1以外的数，我们说明，尽管图是无限的，每个顶点的入度只有有限多。

命题：

若F（n）=m，则n≤（m＞1）

证明：

显然n是合数。当n不是平方数，取它除1以外最小的因数i，则n/i(不等于i)也是n的因数。此时有：

 

亦即

当n是平方数，它至少含因数，故有：

 

等号当且仅当是除1以外n的唯一因数时取得。

证毕。

根据这一命题，我们很容易写出求解入度的程序。

程序1：

功能：求m到n之间每个数的入度和指向它的所有顶点，结果保存于D:/1.txt。

使用：输入m n；

作者：Nithouson

代码：（C++）

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int SumofDivisors(int n){    int i,s=1;    for(i=2;i*i<n;i++)    {       if(n%i==0) s+=i+n/i;    }    if(i*i==n)        return s+i;    else        return s;}int main(){    FILE*pad;    pad=fopen("D://1.txt","w");    int m,n,con,i;    scanf("%d %d",&m,&n);    int*s=(int*)malloc((n*n)*sizeof(int));    for(i=2;i<=n*n;i++)        s[i]=SumofDivisors(i);//空间换时间，预存所有因数和。    for(int j=m;j<=n;j++)    {        fprintf(pad,"%d ",j);        con=0;        for(i=2;i<=n*n;i++)        {            if(s[i]==j)            {                con++;                fprintf(pad,"%d ",i);            }        }        fprintf(pad,"(%d)\n",con);    }    free(s);    return 0;}

我用此程序计算了1-1000的所有顶点入度，得出以下信息：

（1）有些非0数入度为0，如2、5、52、88、96等。事实上，1到1000中共有89个数入度为0，而且它们中只有5是奇数。

（2）100以内的入度最大值为9,在91和97取得；1000以内的最大值为56，在841取得。

（3）奇数入度通常比附近的偶数入度多。事实上，2-1000中奇数的平均入度为17.060，而偶数的平均只有1.409，差异非常明显。（10000以内偶数入度的最大值仅为5）

3 顶点集的盈亏

对一个顶点集，若总入度减总出度为正，称为盈余；否则称为亏损。

经计算，2-100盈余162；2-1000盈余8234。这或许意味着F(n)有整体减小的趋势。

4 路径追踪

从一个顶点出发，不断沿引出的边前进，其实质是F（n）无限次迭代的过程。我们设想以下结果。

（1）路线最终到达1，之后停在0。

（2）路线进入一个闭环中（可能为完全数、相亲数对或多元亲和数链），之后一直在闭环中循环。

（形式上0也可理解为一个闭环，但（1）（2）的成因有很大不同，故分成两种情况）

是否只有以上这两种结局呢？理想上希望如此，但这尚需证明。而且，程序必须满足有限步终止原则，并且不能超出整数变量表达范围。所以追加两种情形：

（3）某一步的值超出int的表达范围；

（4）有限步后（这里定为10000步）尚未达成（1）（2）（3）中任何一条。

条件编译程序如下，它可选择输出希望获取的四种情况之一。

程序2：

功能：求m到n之间每个数的前进路线和路线长度，结果保存于D:/1.txt。

使用：输入m n；

作者：Nithouson

代码：（C++）

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define ONE 1 //到1终止#define LOOP 2 //进入闭环#define BEYONDLIM 3 //超过2147483647#define OVERLONG 4 //运行超过10000次 int SumofDivisors(int n)（同程序1）int main(){    FILE*pad;    pad=fopen("D://1.txt","w");    int m,n;    const int MAX=10000; //迭代次数上限    scanf("%d %d",&m,&n);    int s[MAX];    for(int i=m;i<=n;i++)    {        int j,br=0,p;        s[0]=i;        for(j=1;j<MAX;j++)        {            s[j]=SumofDivisors(s[j-1]);            if(s[j]<0) //超出2147483647后int会读成负数            {                #ifdef BEYONDLIM                for(p=0;p<=j-1;p++)                {                    fprintf(pad,"%d->",s[p]);                }                fprintf(pad,"Beyond Limit\n");                #endif // BEYONDLIM                break;            }            if(s[j]==1)            {                #ifdef ONE                for(p=0;p<=j-1;p++)                {                    fprintf(pad,"%d->",s[p]);                }                fprintf(pad,"1 (%d)\n",j);                #endif // ONE                break;            }            for(int k=0;k<=j-1;k++)            {                if(s[j]==s[k])                {                    #ifdef LOOP                    for(p=0;p<=j-1;p++)                    {                        fprintf(pad,"%d->",s[p]);                    }                    fprintf(pad,"%d (%d)[%d]\n",s[j],j,j-k);                    //j为前进总步数，j-k为闭环长                    #endif // LOOP            }            if(br)            {                br=0;                break;            }        }        if(j==MAX)        {            #ifdef OVERLONG            for(p=0;p<=j-1;p++)            {                fprintf(pad,"%d->",s[p]);            }            fprintf(pad,"To Be Continued\n");            #endif        }    }    return 0;}

对100000以内的数进行分类追踪，发现至少有80723个数都回到1。至少有2073个数进入闭环。有17204个数超出int范围，它们中也会有一部分最终回到1，另一部分进入闭环，是否还有一部分真的永不重复（那意味着序列无上界）？没有数超出次数的界限。

5 亲和图的结构与闭环

到这里我们对亲和图的结构有了大致的认识。1（或0）是大多数数的归宿，如百川汇海。完全数、相亲数，亲和数链则是一少部分数的吸引子。

对1以外的任一个节点，我们可以任意有限阶数地追踪它的来源，即先求指向它的数，再求指向指向它的数的数，以此类推。对于闭环，我们也可以对它进行来源追踪，称为闭环的来源k阶展开。

10万以内的完全数只有6,28,496,8128四个。6的3阶展开为（图1）

10万以内的相亲数共13对，以220和284为例作1阶展开（图2）

 

三元亲和数链在较小整数范围内没有解。值得一提的是五元亲和数链12496-14288-15472-14536-14264，五个数大小类似又都不大，用来象征奥运五环、五洲和谐再合适不过了。另一个较小的环有28元，为14316-19116-31704-47616-83328-177792-295488-629072-589786-294896-358336-418904-366556-274924-275444-243760-376736-381028-285778-152990-122410-97946-48976-45946-22976-22744-19916-17716。用程序2的LOOP模式，再加环长不小于3的条件，就能发现这个环。我还用程序2验证了：涉及10万以内数，长度不小于3，且没有数超出int范围的闭环只有以上的一个5元环和一个28元环。

6 未竟的事业

亲和图中的重大问题还有很多有待解决，如：

（1）任一点出发最终回到1或进入闭环的猜想是否正确？

（2）如何解释奇数的入度普遍多于偶数这一事实？

（3）亲和图中是否存在孤立结构（即一个顶点集，既没有从集合内指向集合外的边，又没有从集合外指向集合内的边）？

对于闭环，也有一系列问题。相亲数是否有无穷多对？两数差最小是多少，是不是26（1184,1210）？差最大是否有无穷大？三元及以上的亲和数链，是否有无穷多？

感觉上说，如果说完全数尚有规律可把握，多元的亲和数链则显得离散，有巧合的成分（只要算出的F（n）之前碰巧出现过，就成环了）。每个数因数分解性质的不同，为理论上整体把握亲和图的性质带来了困难。更大规模的计算与绘图，或许会给我们带来更多新发现。

2017年1月8日

17:39:28