归并排序 逆序数 Codeforces 414 C

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/414/C

 

题目大意：给出一个数n，1<=n<=20，表示共有2^n个数，给出一个数m，表示m次询问，每次询问给出一个数q，表示将这2^n个数分为2^q组，每组2^(n-q)个数，将每组数进行转置操作，并输出转置后所有数中逆序数的对数。

 

分析：刚开始的时候我在想如何用线段树在求出逆序数并维护1<=q<=n上的每个子区间的逆序数和转置后的逆序数，未果。查看题解发现这题做不出来的原因是当初学逆序数的时候只学了树状数组求逆序数，并不了解归并排序的同时也可以求逆序数。归并排序求逆序数的求法是，对一段区间[l,r]，中值为m，设1<=i<=m，m+1<=j<=r，对于a[i]>a[j]，那么左半部分中比a[i]大的数一定比a[j]大，所以将a[j]放置到他的位置的时候恢复位置的逆序数共有m-i+1对，根据这个公式我们可以在每次合并的过程中求出每一个2^q区间的逆序数，同时对于a[i]<a[j]，我们可以求出转置后的逆序数的对数。除此之外，对于归并排序求逆序数，我们将一段区间转置以后，这个区间的所有子区间都被转置，则该区间和他的子区间的逆序数的对数要变成逆序后的逆序数的对数，而对于向上的区间通过模拟可以发现逆序数的对数是不变的，因为左右区间的关系没有发生改变。因此当对每个长度为2^q的区间进行转置操作时只需要将此长度的区间和子区间的逆序数与顺序数的数值交换即可。我们用一个数组dp[][]维护每一层的顺序数和逆序数。dp[i][0]表示第i层即长度为2^i区间的逆序数之和，dp[i][1]为顺序数之和，归并排序预处理出每一层的逆序数与顺序数，每次询问交换从第1层至第q层的顺序数与逆序数并重新累加和输出即可。

 

代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <cstring>#include <vector>#include <list>#include <map>#include <queue>#include <stack>#include <bitset>#include <sstream>#include <algorithm>#include <numeric>#include <functional>//#include <iomanip.h>#include <limits.h>//#include <strstrea.h>//#include <fstream.h>#define ll long long#define ull unsigned long long//#define int64 long long#define INF  0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e2 + 5;int n, m, a[1 << 21], b[1 << 21];ll dp[21][2]; void mergesort(int l, int r, int le) {    if (l >= r) return;    int m = (l + r) >> 1;    mergesort(l, m, le - 1);    mergesort(m + 1, r, le - 1);    int i = l, j = m + 1, k = l;    while (i <= m && j <= r) {        if (a[i] < a[j]) {            dp[le][1] += r - j + 1;            i++;        } else {            j++;        }    }    i = l, j = m + 1, k = l;    while (i <= m && j <= r) {        if (a[i] > a[j]) {            dp[le][0] += m - i + 1;            b[k++] = a[j++];        } else {            b[k++] = a[i++];        }    }    while (i <= m) b[k++] = a[i++];    while (j <= r) b[k++] = a[j++];    for (i = l; i <= r; i++) a[i] = b[i];} int main() {    //freopen("in.txt", "r", stdin);    //freopen("data.out", "w", stdout);    scanf("%d", &n);    int t = 1 << n;    for (int i = 1; i <= t; i++) scanf("%d", a + i);    mergesort(1, t, n);    scanf("%d", &m);    while (m--) {        int q;        ll ans = 0;        scanf("%d", &q);        for (int i = 1; i <= q; i++) {            swap(dp[i][0], dp[i][1]);        }        for (int i = 1; i <= n; i++) {            ans += dp[i][0];        }        printf("%I64d\n", ans);    }    //fclose(stdin);    //fclose(stdout);    return 0;}