数学预习题目分析

来源：互联网发布：广州海关数据分中心编辑：程序博客网时间：2024/05/17 04:50

数学及其补充题目分析
习题7.1
3.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，g(x,y)在D上非负，且g(x,y)与
f(x,y)g(x,y)在D上可积，
证明：在D上有一点(x₀,y₀)使得

\iint D f (x, y) g (x, y) d x d y = f (x 0, y 0) \iint D g (x, y) d x d y

解答：

设f(x,y)在D上最大值为M，最小值为m，
则有

m g (x . y) < = f (x, y) g (x, y) < = M g (x, y)

则有

m \iint D g (x, y) d x d y < = \iint D f (x, y) g (x, y) d x d y < = M \iint D g (x, y) d x d y

则
i）若

\iint D g (x, y) d x d y = 0

则对于任意的

(x 0, y 0) \in D

均满足；
ii)若

\iint D g (x, y) d x d y! = 0

则可知有

m < \iint D f ( x , y ) g ( x , y ) d x d y \iint D g ( x , y ) d x d y < M

则由介值定理知存在

(x 0, y 0) \in D

使得

f (x 0, y 0) = = \iint D f ( x , y ) g ( x , y ) d x d y \iint D g ( x , y ) d x d y

则得证

习题7.2
1.将二重积分

\iint D f (x, y) d x d y

化为累次积分
(1)由x轴，直线x = 1,及直线y=x所围住的区域
（3）由直线x+y=1,y-x=1,y=0所围住的区域
（5）区域x²+y²<=y围住的区域
8.计算二重积分

\int x 0 d x \int π x s i n y y

9.计算二重积分

\int 20 d x \int 2 x 2 y 2 s i n (x y)

16计算二重积分

\int R 0 d x \int R 2 - x 2 \sqrt 0 l n (1 + x 2 + y 2) d y

19.利用二重积分证明由射线

θ = α, θ = β, r = r (θ)

围成的区域D的面积可表示为

1 2 \int β α [r (θ)] 2 d θ

22.计算二重积分

\iint D (y x - - \sqrt + x y - - \sqrt) d x d y

其中D由

x y = 1, x y = 9, y = x, y = 4 x

所围成
23.

\iint D y d x d y

,
D为圆域：

x 2 + y 2 < = x + y

解答：
1.
（1）

\int 10 d x \int x 0 f (x, y) d y

或

\int 10 d y \int 1 y f (x, y) d x

（3）

\int 10 d y \int 1 - y y - 1 f (x, y) d x

或

\int 0 - 1 d x \int 1 + x 0 f (x, y) d y + \int 10 d x \int 1 - x 0 f (x, y) d y

(5)

\int 10 d y \int y - y 2 \sqrt - y - y 2 \sqrt f (x, y) d x

8.2
9.4-sin4
16.

π 4 [(1 + R 2) l n (1 + R 2) - R 2]

19.证明

S = \iint D d x d y = \int β α d θ \int r (θ) 0 r d r = 1 2 \int β α [r (θ)] 2 d θ

22.

8 + 52 3 l n (2)

23.解1：设

x = 1 2 + r c o s θ, y = 1 2 + r s i n θ

则

D(x,y)D(u,v)=r

(c o s θ - r s i n θ s i n θ r c o s θ) = r

因此

I = \int 1 2 \sqrt 0 d r \int 2 π 0 (1 2 + r s i n θ) r d θ = π 4

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