HDU - 4352 数位dp

题意：

定义一个数的power值就是这个数数位上严格递增子序列的长度，找出区间 [L,R] 中 POWER == k 的数的个数。

思路：

好题，搜题意的时候看到了状态压缩四个字的提示，如果没有这个提示感觉应该想不到这点。

很巧妙地思路，之前没有想过LIS还可以运用状压，这题的关键在于数位上的严格上升子序列最多只有10个，这是可以用状态压缩表示的。

如何利用状压求解LIS，关键要深刻理解LIS的二分求解方法。

回忆一下二分的求解方式，dp[i]表示的是长度为i的LIS末尾数的最小值，因为同样长度的LIS，很显然是末尾越小越好，这样能被后面数字利用的机会就越大。所以用这样的状态描述。这样遍历数组，当遇到a[i]时，这里需要找到dp数组中第一个比a[i]大的数的位置pos，然后用a[i]来代替这个位置上的值，也就更新长度为pos的LIS的末尾值，使之更小。

举个例子：

数组a[5] ; 4,2,3,1,5

dp数组初始化:  INF, INF, INF, INF, INF

而后dp数组的变化如下：

插入4:  4, INF, INF, INF ,INF

插入2:  2, INF, INF, INF, INF

插入3:  2, 3, INF, INF, INF

插入1:  1, 3, INF, INF, INF

插入5:  1, 3, 5, INF, INF

dp数组最后INF前的长度为3，所以数组a的LIS长度就是3。这个思路就是解决本题的关键。

利用状态state(1 << 10) 来代替上面的dp数组，每次枚举一个数位i，也就和上面一样的操作。但是这里由于LIS最长也就是10，state表示的就是当前dp上的数出现的情况，比如最后1，3，5用state表示就是101010(右端低位)，之所以可以这样表示，是因为上面介绍的dp数组有一个很重要的特性，那就是单调递增，这样我们只保存数位出现的情况，也就不需要保存各个数位的顺序了，因为都是递增的，所以直接按照数位的顺序理解就可以了。

有了这个状压的思路，剩下的就是数位dp了，注意前导零的处理。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int MAXN = (1 << 10) + 10;int a[20];ll dp[20][12][MAXN];int get_state(int sta, int x) {     // 根据枚举的数字得到新的状态    for (int i = x; i < 10; i++) {        if (sta & (1 << i)) {            sta ^= (1 << i);            break;        }    }    sta |= (1 << x);    return sta;}int cal(int sta) {      // 计算数位中的1的个数，也就是LIS的长度    int cnt = 0;    while (sta) {        if (sta & 1) ++cnt;        sta >>= 1;    }    return cnt;}ll dfs(int pos, int len, int state, bool limit) {    if (len < 0) return 0;    if (pos == -1) return len == 0 ? 1 : 0;    if (state && !limit && dp[pos][len][state] != -1) return dp[pos][len][state];    int up = limit ? a[pos] : 9;    ll res = 0;    for (int i = 0; i <= up; i++) {        if (i == 0 && state == 0) res += dfs(pos - 1, len, state, limit && a[pos] == i);        else {            int nstate = get_state(state, i);            int cnt = cal(nstate) - cal(state);            res += dfs(pos - 1, len - cnt, nstate, limit && a[pos] == i);        }    }    if (state && !limit) dp[pos][len][state] = res;    return res;}ll solve(ll x, int k) {    int pos = 0;    while (x) {        a[pos++] = x % 10;        x /= 10;    }    return dfs(pos - 1, k, 0, true);}int main() {    int T, cs = 0;    scanf("%d", &T);    memset(dp, -1, sizeof(dp));    while (T--) {        int k;        ll l, r;        scanf("%I64d%I64d%d", &l, &r, &k);        printf("Case #%d: %I64d\n", ++cs, solve(r, k) - solve(l - 1, k));    }    return 0;}