[Leetcode] 72. Edit Distance 解题报告

题目：

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

思路：

编辑距离是动态规划最典型的练习题之一。如果我们考察word1[0, i]到word2[0, j]的编辑距离，根据对最后一个字符的处理，可以有如下两种情况：

1）如果word1[i] == word2[j]，那么不用处理最后一个字符，其最优编辑过程也就是从word1[0, i-1]到word2[0, j-1]的编辑过程。此时dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。

2）如果word1[i-1] != word2[j-1]，那么根据对最后一个字符的处理分类，有如下三种可能：

a、替换：此时对应的编辑过程就是：step 1: 将word1[0, i-1]编辑为word2[0, j-1]；step 2: 将word1[i]替换为word2[j]。此时dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

b、插入：此时对应的编辑过程就是：step 1: 将word1[0, i]编辑为word2[0, j-1]；step 2: 在word2[0, j-1]的末尾加上words[j]。此时dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1。

c、删除：此时对应的编辑过程就是：step 1: 将word1[0, i-1]编辑为word2[0, j]；step 2: 将word1[i]删除。此时dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。

注意在上述三种情况中，step 1和step 2的执行次序可以调换。

分析可知，dp[i][j]依然只和它左方、上方以及左上方的三个元素有关，因此空间复杂度可以采用动态规划的方式优化到O(len2)，其中len1和len2分别是字符串word1和word2的长度。如果对空间复杂度比较在意，还可以进一步将空间复杂度优化为O(min(len1, len2)) （适合len2远大于len1的情况，此时虽然理论上程序的时间复杂度仍然为O(len1 * len2)，但是运行时间却会增加不少，请思考一下为什么？O(∩_∩)O）。

代码：

1、O(len1 * len2)空间复杂度的DP解法：

class Solution {public:    int minDistance(string word1, string word2)     {        int len1 = word1.length(), len2 = word2.length();        vector<vector<int>> dp(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));        for(int i = 0; i <= len1; ++i)  // initialize the first column            dp[i][0] = i;        for(int i = 0; i <= len2; ++i)  // initialize the first row            dp[0][i] = i;        for(int i = 1; i <= len1; ++i)        {            for(int j = 1; j <= len2; ++j)            {                if(word1[i-1] == word2[j-1])                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];                else                    dp[i][j] = min(min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1;            }        }        return dp[len1][len2];    }};

2、O(min(len1, len2))空间复杂度的DP解法：

class Solution {public:    int minDistance(string word1, string word2)     {        if(word1.length() < word2.length()) {               swap(word1, word2); // optional: may decrease space complexity while increasing running time        }        int len1 = word1.length(), len2 = word2.length();        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(len2 + 1, 0));        for(int i = 0; i <= len2; ++i)  // initialize the first column            dp[0][i] = i;        for(int i = 1; i <= len1; ++i)        {            dp[i%2][0] = i;            for(int j = 1; j <= len2; ++j)            {                if(word1[i-1] == word2[j-1])                    dp[i%2][j] = dp[(i-1)%2][j-1];                else                    dp[i%2][j] = min(min(dp[i%2][j-1], dp[(i-1)%2][j]), dp[(i-1)%2][j-1]) + 1;            }        }        return dp[len1%2][len2];    }};