最小生成树Kruskal算法理解
来源:互联网 发布:abs检测软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 19:55
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点,e个边
2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
(1)首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边
(2)将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了下图
(3)在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
(4)依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。
(5)下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是下:
代码实现:
typedef struct { char vertex[VertexNum]; //顶点表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; typedef struct node { int u; //边的起始顶点 int v; //边的终止顶点 int w; //边的权值 }Edge; void kruskal(MGraph G) { int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; int vset[VertexNum]; //辅助数组,判定两个顶点是否连通 int E[EdgeNum]; //存放所有的边 k=0; //E数组的下标从0开始 for (i=0;i<G.n;i++) { for (j=0;j<G.n;j++) { if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) { E[k].u=i; E[k].v=j; E[k].w=G.edges[i][j]; k++; } } } heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序,按权值从小到大排列 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组 { vset[i]=i; } k=1; //生成的边数,最后要刚好为总边数 j=0; //E中的下标 while (k<G.n) { sn1=vset[E[j].u]; sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话,把边加入最小生成树 { printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); k++; for (i=0;i<G.n;i++) { if (vset[i]==sn2) { vset[i]=sn1; } } } j++; } }
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