数学建模学习笔记

第一章：建立数学模型

1.    常见模型：是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象，提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。

实物模型：玩具、照片、飞机、火箭；

物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机；

符号模型：地图、电路图、分子结构图。

2.    建立数学模型的基本步骤：以航海为例

a) 做出简化假设：船速、水速为常数；

b) 模型构成：用符号表示有关量：x，y表示船速和水速；

发挥想象力、使用类比法，机娘采用简单的数学工具。

c) 用物理定律列出数学式子：二元一次方程；（可能伴随模型的参数估计）

有时模型有未知参数，这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解；

之后还要进行模型分析：如误差分析、模型对数据的稳定性分析等；

模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性。

d) 求解得到数学解答；

e) 回答原问题：船速每小时20千米。

3.    数学模型与数学建模

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学建模：建立数学模型的全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）

4.    数学建模的具体应用

a)      分析与设计：椅子在不平的地面上能放稳吗？

b)     预报与决策：如何预报人口的增长？使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用（即进行人口预报）。

c)      控制与优化

d)     规划与管理：商人们怎样安全过河？

5.    数学建模的基本方法：

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；

测试分析：将研究对象看做“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

一般情况下，需要进行机理分析建模，并通过测试分析确定模型参数。

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。

6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。

7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。

 总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

 以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。

第四章：静态优化模型（微分法建模，求导得目标函数最优解）

 现实世界中普遍存在着优化问题；静态优化模型指求解问题的最优解；重点是如何根据目的确定恰当的目标函数；一般使用微分法。

1.    存储模型：存在某种矛盾，寻找平衡最优点！

a)      问题描述：配件厂为装配生产若干中产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付存储费，该场生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。

b)     问题存在：今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）？每次产量多少，使总费用最少。

c)      要求：不止回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系！

d)     问题分析：

首先，对于我们来说，应该先找到问题所在，即造成当前无法做决定的原因是什么？

这道题的原因为：

周期短，产量小：存储费少，但准备费多。

周期长，产量大：准备飞少，但存储费多。

e)      分析求解：

                     i.           模型假设

                   ii.           目标函数：每天费用的平均值最小

                  iii.           模型建立：离散问题连续化

                  iv.           模型求解：得出目标函数，求解当周期T为多少时，可以获得最优解，可以使用matlab等软件进行求解！

                   v.           模型分析：说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化！

f)       进一步建模：如允许缺货时又需要怎样进行建模？

 2.    森林救火

a)      问题描述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量

b)     矛盾：

                     i.           队员多，森林损失小，但救援费用大；

                   ii.           队员少，森林损失大，但球员费用小。

综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

c)      问题分析：

                     i.           合理假设：火的蔓延方式等；

                   ii.           模型建立了，列出总费用的函数模型；

                  iii.           利用数学软件进行模型求解；

                  iv.           进行解释。

 与存储模型十分像，都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。

3.    最优价格

a)      问题描述：根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大。

b)     问题假设：产量等于销量：x；收入与销量成正比；销量依于价格p是减函数；等

c)      建模与求解

d)     如果进一步分析，可以少一些之前的假设，进行另外的一些分析建模。

4.    消费者均衡：

a)      问题描述：消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示，问他如何分配一定数量的前，购买这两种商品，以达到最大的满意度？

一样是最优化的问题，不多做解释了，，，

b)     可以进行的优化：考虑如何推广到m（>2）种商品的情况！

 5.    冰山运输

a)      问题描述：某地区缺水，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑；专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山，取代淡化海水，试从经济的角度研究冰山运输的可行性。

b)     建模准备：加入进行运输，则需要的一系列的成本计算，最终建模求得成本表达式。

c)      之后进行建模分析。

d)     结论分析：只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时，才考虑其可行性！

重点在于建模时，要充分考虑不可忽略的种种因素：如冰山融化、燃料、租凭费用等。

 总结：

1.    存储问题：存在某种实际矛盾，不知如何安排。需要寻找平衡最优点！

2.    森林救火：与存储问题一样，都是解决某种存在矛盾。

3.    最优价格：一样，求解最优问题，重在前提假设要合理。

4.    消费者均衡：考虑推广优化。

5.    冰山运输：考虑不可忽略的多种因素损失。

第五章：动态模型（微分方程建模）

·  预报与决策类型

·  描述对象特征随时间或空间的演变过程；

·  分析对象特征的变化规律；

·  预报对象特征的未来特征；

·  研究控制对象特征的手段等。

这类题，要求的是一种趋势，描述一种变化过程，也可以称为预测。（属于动态）

1.    传染病模型

a)      问题描述：描述产染病的传播过程；分析受感染人数的变化规律；预报传染病高潮到来的时刻；预防传染病蔓延的手段；按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型；之后使用测试分析，确定最好的模型。

b)     问题模型：

这种类型题目，需要依据不同的假设，来建立不同的模型（一般要多个），之后再通过测试分析，确定建模的可靠性。

c)      最好可以在最后进行一次全部综合的区别，分析。

 2.    经济增长模型

a)      通过增加生产、发展经济、增加投资、增加劳动力、提高技术

·  建立产值与资金劳动力之间的关系；

·  研究资金与拉动力的最佳分配（静态）；

·  调节资金与劳动力的增长率，使经济（生产率）增长。

b)     使用现成的道格拉斯生产函数；

c)      资金与拉动力的最佳分配（静态）；

d)     经济（生产率）增长的条件（动态模型）。

 3.    Lanchester战争模型

a)      问题描述：第一次世界大战时提出的预测战争结果的数学模型；分为不同的三种战争类型。

b)     问题假设：

                     i.           只考虑双方兵力多少和战斗力强弱；

                   ii.           兵力因战斗减员，因增援而增加；

                  iii.           战斗力与射击次数、命中率等相关；

c)      建立一般模型；

d)     建立不同三种战争类型的模型（一般要建模，作图进行分析比较）。

 4.    药物在体内的分布与排除

a)      问题描述：药物进入人体形成血药浓度？

b)     问题要求：

                     i.           血药浓度需保持在一定范围内：给出药物方案射击；

                   ii.           研究药物在体内吸收、分布和排出的过程：药物动力学；

                  iii.           建立房室模型：药物动力学的基本步骤；

                  iv.           本节讨论二室模型：中心室（心、肺、肾等）和周边室（四肢、肌肉等）。

c)      模型假设：中心室和周边室溶剂不变；药物转移顺序；药物转移速率及排出体外速率，与该室血药浓度成正比等。（必须是合理假设！）

d)     模型建立：线性常系数非齐次方程。

e)      模型求解：

                     i.           假定不同的初始条件；

                   ii.           在不同的条件下进行参数估计；

 5.    香烟过滤嘴模型：

a)      问题描述：

                     i.           过滤嘴的作用与材料、长度的关系；

                   ii.           建立吸烟过程的数学模型；

                  iii.           分析吸入的毒物量与哪些因素有关，定量关系如何？

b)     模型分析：

                     i.           分析吸烟时毒物进入人体的过程；

                   ii.           设想一个机器人，在典型环境下吸烟，其方式和外部环境不变。

c)      模型假设：

                     i.           l1：烟草长    l2：过滤嘴长    l = l1 + l2；

毒物M均匀分布，密度w0 = M / l1

                   ii.           点燃处毒物随延误进入空气和延香烟穿行的数量比是 a’:a，a’ + a = 1

                  iii.           未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率分别为b和B；

                  iv.           延误沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u。 v>>u

d)     定性分析：大致的一种变化趋势，导致吸入人体毒物总量的变化趋势分析

e)      模型建立（结合画图）：

t=0，x=0，点燃香烟； q(x,t)：毒物流量；w(x,t)：毒物密度；w(x,0) = w0

Q = q(l,t)dt, T = l1/u （0<=t<=T）

f)       进行求解，得出Q。

g)      分析的话，可以从加过滤嘴与不加过滤嘴两种情况Q的的多少来进行分析。

h)     之后依据不同的假设变量情况，得出结论。

 6.    烟雾的扩散与消失

a)      问题描述：炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域；

不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后延误消失；

建立了模型描述延误扩散和消散的过程，分析消散时间与各因素的关系。

b)     问题分析：

                     i.           无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化；

                   ii.           观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。

c)      模型假设：

                     i.           烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律；

                   ii.           光线传过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。

                  iii.           传过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。

d)     模型建立：

                     i.           烟雾浓度C(x,y,z,t)的变化规律：依据热传导定律；

                   ii.           传过烟雾光强的变化规律；

                  iii.           仪器灵敏度与烟雾明暗界限；

                  iv.           不透光区域边界的变化规律（核心）。

等等，需要查询一些资料进行函数方程式的建模分析，初学，先有一个大体概念，对具体先不做考虑，等之后分析。

e)      结果分析

观测到不透光区域边界达到最大时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2。

 总结：

1.    传染病模型：依据不同假设，进行不同情况下的建模分析；

2.    经济增长模型：依据现有的道格拉斯生产函数建模；之后分析一个静态的最佳配比；再建立一个经济增长的动态模型。

3.    Lanchester战争：主要是做好假设。

4.    药物在体内的分布与排除：这种类型的题目，一般纯建模是无法进行的，都要参考一定的文献。建立方程之后，根据不同的初始条件，进行不同的参数估计，模型求解。

5.    香烟过滤嘴模型：具体问题，数字化。

6.    烟雾的扩散与消失：对于特定的问题，可以寻求特定的描述方式，有时需要搜索相关书籍资料来帮助建模理解。