递归算法-->整数划分

何为整数划分：

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成为

其中，

  

为正整数，并且

  

；

  

为n的一个划分。

如果

  

中的最大值不超过m，即

  

，则称它属于n的一个m划分。

例如：6的划分：

6；

5+1；

4+2；4+1+1；

3+3；3+2+1；3+1+1+1；

2+2+2；2+2+1+1；2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1；
   

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于q(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下为q(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为q(n,m-1);

      因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

      综上所述：

                             q(n, m) =   1;                  (n=1 or m=1)

                             q(n,m) =  q(n, n);           (n<m)

                             1+ q(n, m-1);                  (n=m)

                             q(n-m,m)+q(n,m-1);      (n>m)

代码如下：

#include<iostream>using namespace std;int q(int n,int m){if((n<1)||(m<1))return 0;if((n == 1)||(m == 1))return 1;if(n < m)return q(n,n);if(n == m)return q(n,m-1)+1;return q(n,m-1)+q(n-m,m);}int main(){cout<<q(6,6)<<endl;}