矩阵快速幂

来源：互联网发布：不要网络的游戏女生类编辑：程序博客网时间：2024/06/02 02:16

一，基本概念

矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

二，基本的原理

一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。

但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)

这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。

以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。

有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

三，举例

比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)

也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端

四，例题

Problem of Precision

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1360 Accepted Submission(s): 815

Problem Description

Input

The first line of input gives the number of cases, T. T test cases follow, each on a separate line. Each test case contains one positive integer n. (1 <= n <= 10^9)

Output

For each input case, you should output the answer in one line.

Sample Input

Sample Output

Source

HDOJ 2008 Summer Exercise（4）- Buffet Dinner

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代码；

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MOD = 1024;
int n;
struct mat
{
    int s[2][2];
    mat(int a = 0, int b = 0, int c = 0, int d = 0)
    {
        s[0][0] = a;
        s[0][1] = b;
        s[1][0] = c;
        s[1][1] = d;
    }
    mat operator * (const mat& c)
    {
        mat ans;
        sizeof(ans.s, 0, sizeof(ans.s));
        for (int i = 0; i < 2; i++)
            for (int j = 0; j < 2; j++)
                for (int k = 0; k < 2; k++)
                    ans.s[i][j] = (ans.s[i][j] + s[i][k] * c.s[k][j]) % MOD;
        return ans;
    }
} tmp(5, 12, 2, 5);
mat pow_mod(int k)
{
    if (k == 1)
        return tmp;
    mat a = pow_mod(k / 2);
    mat ans = a * a;
    if (k % 2)
        ans = ans * tmp;
    return ans;
}
int main()
{
    int cas;
    scanf("%d", &cas);
    while (cas--)
    {
        scanf("%d", &n);
        mat ans = pow_mod(n);
        printf("%d\n", (ans.s[0][0] * 2 - 1) % MOD);
    }
    return 0;
}

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