多项式拟合
来源:互联网 发布:数据流量打开不能上网 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 11:17
在网上看别人的心得
一 最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数
数据拟合的具体作法是:对给定数据
从几何意义上讲,就是寻求与给定点
在曲线拟合中,函数类
6—1
二 多项式拟合
假设给定数据点
当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(1)的
显然
为
即
(3)是关于
式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。
可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(4)中解出
可以证明,式(5)中的
由式(2)可得
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步:
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图,确定拟合多项式的次数n;
(2) 列表计算
(3) 写出正规方程组,求出
(4) 写出拟合多项式
在实际应用中,
例1 测得铜导线在温度
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
19.1 | 25.0 | 30.1 | 36.0 | 40.0 | 45.1 | 50.0 | |
76.30 | 77.80 | 79.25 | 80.80 | 82.35 | 83.90 | 85.10 |
解 画出散点图(图6-2),可见测得的数据接近一条直线,故取n=1,拟合函数为
列表如下
i | ||||
0 | 19.1 | 76.30 | 364.81 | 1457.330 |
1 | 25.0 | 77.80 | 625.00 | 1945.000 |
2 | 30.1 | 79.25 | 906.01 | 2385.425 |
3 | 36.0 | 80.80 | 1296.00 | 2908.800 |
4 | 40.0 | 82.35 | 1600.00 | 3294.000 |
5 | 45.1 | 83.90 | 2034.01 | 3783.890 |
6 | 50.0 | 85.10 | 2500.00 | 4255.000 |
245.3 | 565.5 | 9325.83 | 20029.445 |
正规方程组为
解方程组得
故得R与T的拟合直线为
利用上述关系式,可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如,由R=0得T=-242.5,即预测温度T=-242.5℃时,铜导线无电阻。
6-2
例2 已知实验数据如下表
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
10 | 5 | 4 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。
解 设拟合曲线方程为
列表如下
I | |||||||
0 | 1 | 10 | 1 | 1 | 1 | 10 | 10 |
1 | 3 | 5 | 9 | 27 | 81 | 15 | 45 |
2 | 4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 16 | 64 |
3 | 5 | 2 | 25 | 125 | 625 | 10 | 50 |
4 | 6 | 1 | 36 | 216 | 1296 | 6 | 36 |
5 | 7 | 1 | 49 | 343 | 2401 | 7 | 49 |
6 | 8 | 2 | 64 | 512 | 4096 | 16 | 128 |
7 | 9 | 3 | 81 | 729 | 6561 | 27 | 243 |
8 | 10 | 4 | 100 | 1000 | 10000 | 40 | 400 |
53 | 32 | 381 | 3017 | 25317 | 147 | 1025 |
得正规方程组
解得
故拟合多项式为
*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性
定理1 设节点
证 由克莱姆法则,只需证明方程组(4)的系数矩阵非奇异即可。
用反证法,设方程组(4)的系数矩阵奇异,则其所对应的齐次方程组
有非零解。式(7)可写为
将式(8)中第j个方程乘以
因为
其中
所以
证 只需证明,对任意一组数
即可。
因为
故
*四 多项式拟合中克服正规方程组的病态
在多项式拟合中,当拟合多项式的次数较高时,其正规方程组往往是病态的。而且
①正规方程组系数矩阵的阶数越高,病态越严重;
②拟合节点分布的区间
③
为了克服以上缺点,一般采用以下措施:
①尽量少作高次拟合多项式,而作不同的分段低次拟合;
②不使用原始节点作拟合,将节点分布区间作平移,使新的节点
平移公式为:
③对平移后的节点
其中
经过这样调整可以使
变换后的条件数上限表如下:
拟合次数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
=1 | <9.9 | <50.3 | <435 |
④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式;另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程 组的系数矩阵为对角矩阵,从而避免了正规方程组的病态。我们只介绍第一种,见第三节。
例如 m=19,
① 直接用
严重病态,拟合结果完全不能用。
② 作平移变换
用
比
③ 取压缩因子
作压缩变换
用
又比
如有必要,在得到的拟合多项式
仍为一个关于x的n次多项式,正是我们要求的拟合多项式。
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