[SinGuLaRiTy-1004] Combinatorial Mathematics-Basic 组合数学

 By WenJian

【加法原理】

设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n种产生方式。
集合论语言：若 |A| = m , |B| = n , A∩B =  Φ, 则 |AUB| = m + n 。

<例>

（1）某班选修企业管理的有 18 人，不选的有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。

（2）北京每天直达上海的客车有 5 次，客机有 3 次， 则每天由北京直达上海的旅行方式有 5 + 3 = 8 种。

【乘法原理】

设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有 m · n种产生方式。
集合论语言：若 |A| = m , |B| = n , A*B = {(a,b) | a∈A,b ∈ B}, 则 |A * B| = m * n 。

<例>

（1） 某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5 * 3 = 15 个。

（2） 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有3 * 2=6 条道路。

（3*）a.求小于10000的含1的正整数的个数

分析：小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.
            故有9×9×9×9－1＝6560个.
                          含1的有：9999－6560=3439个

          b.求小于10000的含0的正整数的个数

分析： 不含0的1位数有9个，2位数有9*9  个，3位数有9^3  个，4位数有9^4 个 
   不含0小于10000的正整数有
     9+9^2+9^3+9^4 =7380个
  含0小于10000的正整数有9999－7380=2619个

【排列与组合】

定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为  P(n,r) 。

排列：从n个中取r个的排列的典型例子是从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种选择，······，第r个有n-r+1种选择。故有P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1)。

组合：从n个中取r个的组合的典型例子是从n个不同的球中,取出r个,放入r个相同的盒子里。每个盒子要放一个球。每一种组合方案都可以衍生出r！种排列方案来。C(n,r)=p(n,r)/r! 。

<组合公式的性质>

性质1：C(n,0)=C(n,n)
性质2：C(n,k)=C(n,n-k)
性质3：C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)
二项式定理：

<例>

1.有重复元素的全排列

有k种元素,其中第i种元素有ni个,所有元素一共是n个。求全排列的个数.
解:设元素的总数为n。它同一类元素被重复计算了ni!次.所以答案为:n!/(n1!*n2!*…nk!)

2.可重复选择的组合

有n个不同的元素，每个元素可以选多次，一共选择k个元素，有多少种方法？

如n=3，k=2，有6种选择：(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)

分析：设第一个元素选择x1个，第二个元素选择x2个，……，第n个元素选择xn个。则有方程：x1+x2+……xn=k。问题转换为求方程的非负整数解的个数。令yi=xi+1，则答案为y1+y2+…+yn=k+n的正整数解的个数。想想k+n个相同的小球拍成1列，现在要把它分成n个部分，则只需在其中放置n-1块隔板即可。一共有k+n-1个位置用来放隔板，所以答案为C(n+k-1,n-1)

【集合拆分】

<整数的无序拆分>

将一个整数n拆成无序的k个数的和，问有多少种方法？

      将n个相同的球全部放入k个相同的盒子，问有多少种方法？
        p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)

<集合的无序分拆（第二类stirling）>

将一个包含n个元素的集合拆成k个子集，每个子集非空，且子集之间无交集，问有多少种方法？

        设S(n,k)表示解，则S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k,其中S(n,n)=1,S(n,1)=1,若i<j,则S(i,j)=0.

将n个不同的小球全部放入k个相同的盒子，要求每个盒子都不为空。

<集合的有序分拆>

将一个包含n个元素的集合拆成有序的k个子集，每个子集非空，且子集之间无交集，问有多少种方法？

将n个不同的小球全部放入k个不同的盒子，要求每个盒子都不为空。
设S(n,k)表示集合n的无序分拆，则本题的答案为：
              k!*S(n,k)
其中S(n,n)=1,S(n,1)=1,若i<j,则S(i,j)=0

<整数的有序拆分>

将一个整数n拆成有序的k个数的和，问有多少种方法？

将n个相同的球全部放入k个不同的盒子，问有多少种方法？

C(n-1,k-1)

<经典分配问题12态>

【第一类Stirling数】

将n个不同的数分成k个非空循环排列一共有多少种方法。

S1(n,k)=S1(n-1,k-1)+(n-1)*S1(n-1,k)
递推关系的说明：
考虑第n个数，n可以单独构成一个非空循环排列，这样前n-1种数构成k-1个非空循环排列，方法数为s1(n-1,k-1)；
也可以前n-1种数构成k个非空循环排列，而第n个数插入第i个数的左边，这有(n-1)*s1(n-1,k)种方法。

【例题】

1.有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本不同的中文书。求以下操作的方案数。
1)取2本不同文字的书；
2)取2本相同文字的书；
3)任取两本书。

解：1)  5×7+5×10+7×10=155;
2)  C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76;
  3) C(22,2)=22*21/2=231

2.从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？

解：将[1,300]分成3类：
           A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},
           B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},
           C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}.
        要满足条件，有四种解法：
        1)3个数同属于A;2)3个数同属于B
      3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.
故共有3C(100,3)+100^3=485100+1000000=1485100

3.求有多少个没有重复数字且能够被5整除的四位奇数？

解：个位没得选，只能是5.
      千位有8种选择，不能为5，0
      百位有8种选择
      十位有7种选择
所以，一共8*8*7=448

【鸽笼原理】

又名抽屉原理。有n个鸽笼，现在放入m只鸽子（m>n）则必有两只鸽子在一个笼子。

【容斥原理】

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

<公式>

【例题】

1.错位排序问题

给出n个不同数字的初始排列，求与原排列完全错位的排列的个数。

解：S=n!-n*(n-1)!+C(n,2)*(n-2)!-C(n,3)*(n-3)!+…+(-1)n*C(n,n)*(n-n)!
       =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)n/n!)

2.三角形五点证明

在边长为2的等边三角形中放5个点，证明至少存在两个点，它们之间距离小于等于1

3.骑士遍历

有一个n×n（n<100）的棋盘，在棋盘的任意位置放一匹中国象棋中的马，马可以往8个方向跳，马跳日子。输入n和马的初始位置，判断马能否不重复的走遍棋盘上的每一个点。

解：本题若采用搜索，只能解决n=20左右的规模，肯定会超时。
注意到本题只要判断是否有解，并不需要输出解。可以采用着色法来解决。马的落点必是黑、白轮流的。如果黑点比白点多，则马的起始点必须要是黑点，反之亦反。

4.选修

某班50人，其中有30人选修了A课程，28人选修了B课程，25选修了C课程。有20人同时选修了A,B两门课，18人选修了B,C两门课，15人选修了A,C两门课，有12人选修了三门课程。问班上有多少人是没有选修的？

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Time ： 2017-02-08