PAT A1003 Emergency(25)

题意

• 给定图（城市，路），给定边权（路程），点权（救援队数目），求两点间最短路条数（边权和最小），并求其中点权和的最大值。

注意

1. fill函数初始化二维数组的写法和陷阱。
2. Dijkstra算法的扩展
   
   1. 在<和==处理上，注意最短路数目在==情况下可直接加。
   2. 为每个点设两个数组，分别用于保存起点到该点的最短路数目和点权和。
3. 边权和最小值与点权和最大值在路径上可传递，满足最优性原理。
4. 证明：设r为s到t的一条最短路且是在所有从s到t的最短路中点权和最大的最短路，设t的前驱结点t0，则在r中s到t0的路径r0也是如此。不然可找到一条s到t0的路径r1，r1要么比r0更短要么和r0一样短但点权和比r0更大，则将r1替换r0，可得原假设r不成立，所以矛盾，所以原命题成立。

单词

1. scatter 分散

代码

#include <iostream>#include <climits>using namespace std;const int MAX = 500;int n, m;int s, t;int v_wei[MAX];     //点权int e_wei[MAX][MAX];//边权int road[MAX];      //最短路条数（至起点）（*）int v_max[MAX];     //最短路的点权最大（至起点）（*）int e_min[MAX];     //边权最小（最短路长度）（至起点）bool S[MAX];        //S集void Dijkstra(int s0){    fill(S, S + n, false);    fill(e_min, e_min + n, INT_MAX);    v_max[s0] = v_wei[s0];    e_min[s0] = 0;    ///// s0作为起点还未加入    road[s0] = 1;    for (int i = 0; i < n; i++)    {        int min = INT_MAX;        int u;        for (int j = 0; j < n; j++)        {            if (!S[j] && e_min[j] < min)            {                min = e_min[j];                u = j;            }        }        S[u] = true;                               //////////////        for (int k = 0; k < n; k++)        {            if (!S[k] && e_wei[u][k] != INT_MAX)        /////////            {                if (e_min[u] + e_wei[u][k] < e_min[k])                {                    road[k] = road[u];                ///////////                    e_min[k] = e_min[u] + e_wei[u][k];                    v_max[k] = v_max[u] + v_wei[k];                }                else if (e_min[u] + e_wei[u][k] == e_min[k])                {                    road[k] += road[u];            ////////////// 这里road[k]的旧值必定被以前轮次的 u 赋过值，不然else if条件不可能成立，因为e_min初始化均为INT_MAX                    if (v_max[k] < v_max[u] + v_wei[k])                            v_max[k] = v_max[u] + v_wei[k];                }            }        }    }}int main(){    scanf_s("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);    for (int i = 0; i < n; i++)        scanf_s("%d", &v_wei[i]);    fill(e_wei[0], e_wei[0] + MAX*MAX, INT_MAX);    //// [0] MAX*MAX!!!!!!!!!!!!!!    int v1, v2;    for (int i = 0; i < m; i++)    {        scanf_s("%d%d",&v1,&v2);        scanf_s("%d", &e_wei[v1][v2]);        e_wei[v2][v1] = e_wei[v1][v2];    }    Dijkstra(s);    printf("%d %d", road[t], v_max[t]);    return 0;}