方形矩阵的行列式

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式是一个数，一个进行特定运算后的得出的数；而矩阵是一个数表，是一系列数的整体。
它们（行列式、矩阵、向量组、线性空间）一些属性从定义开始就存在非常大的联系，如：矩阵的秩是最高阶非零子式的维数。因此这也为关于它们的问题之间的转换提供了可能。
我觉得行列式与矩阵最主要的联系体现在：|AB| = |A| |B| 。这将两个截然不同的东西联系到了一起，进而推出了后面的定理，如：行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩（向量个数等于维数）。

1、矩阵的行列式定义
矩阵的行列式，determinate，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量；
二维矩阵[{a,c},{b,d}]的行列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的行列式
假设矩阵A为n维的方阵，定义Aij为从A中删除第i行、第j列之后剩下的n-1维方阵。
可以沿着A的第一行来求取行列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是一个递归的定义，包含n项，每一项的正负号等于 （-1)的(i+j)次方。
实际上可以对A的任意一行、任意一列按上面的方法来求取行列式，可以挑选包含0比较多得行(列)。
3、矩阵标量乘法的行列式
当矩阵的某一行（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；
当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次方 * det(A)。


4、矩阵行列式的一些规律
1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)
2)如果矩阵A有两行（列）相等则，det(A) = 0
3)如果矩阵A将两行交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)
4)如果矩阵A进行行变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过行变换达到3)的效果，这个过程中会发生-1数乘某行。


5、上三角矩阵的行列式
所谓上三角矩阵，就是对角线以下的位置全部为零（aij=0 if i>j）；
上三角矩阵的行列式等于  a11*a22*...*ann；
基于这个特性，可以通过行变换，把矩阵转换为上三角矩阵，再求行列式。


6、行列式与平行四边形面积
两个二维向量v1，v2，可以作为平行四边形的临边来定义一个平行四边形。两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平行四边形的面积 = det(A)的绝对值。
7、行列式作为面积因子
任意一个几何形状，面积为S；假如经过线性变换A，得到新的线性变换，则新几何形状的面积= S*det(A)的绝对值。


8、转置矩阵行列式
矩阵Am*n，如果将Aij与Aji的位置进行交换，得到一个新矩阵Bn*m，则B称值为A的转置矩阵。可见转置矩阵也是相互的，AB互为转置矩阵。
如果A、B互为转置矩阵，则有 det(A) = det(B)

9、行列式就是关于“面积”的推广。它就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。

记空间的维度为N，给定一组矢量，什么是它们线性无关性？我们下面将说明，一组矢量的线性相关性本质上，是描述它们所张成的广义平行四边形体积是否为零。我们仍然从最简单的2维空间出发。如果两个2维空间的向量是线性相关的，那么就是说，其中一个与另外一个共线，也就是说，他们所张成的四边形，面积是零。反之，如果线性无关，则不共线，则面积不为零。
同理，如果三个三维空间的向量是线性无关的，那么他们三者就不共面。因此它们所张成的平行六面体，体积不是零。
更进一步地，我们知道，二维空间如果给定三个向量，他们必定共面（二维空间内不可能存在一个“体积”），因此它们必定线性相关。推而广之，我们不难理解，为什么一个维度为N的空间内，任意一组M个向量（M>N）必定线性相关了：因为维度大于空间维度的超平形四边体不存在。

由此我们得到一个一一对应的关系：

N个向量线性无关 == 他们所张成的N维体体积不为零
反之，如果N个向量线性相关，那么他们所张成N维体，体积为零。
例如，一对共线矢量张成的平行四边形，退化成一个线，其面积显然是0；一组共面的三个矢量张成的平行六面体，退化成一个面，其体积显然是0。

因为我们已经知道行列式与面积的关系，因此我们有结论：

线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零；线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,n)为边所张成的超平行六面体的体积 。

通过行列式可以知道3D的物体是否线性无关的，

向量组线性相关的几何意义
两个2维向量a,b构成的向量组的几何意义是: a,b共线
三个3维向量a,b,c构成的向量组的几何意义是: a,b,c共面
四个4维向量a,b,c,d构成的向量组几何意义是：对应的非齐次线性方程组所表示的四个平面交于同一直线。 以及物体是否缩小或者放大了。

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