一道求极值的三角函数题

问题

函数 y=22√sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是多少？(填空题)

解答

看到一本书上说下面的思路是错误的：
y=2√sin2x+2√sin(x+π4)

=22√sin⎛⎝⎜3x+π42⎞⎠⎟cos⎛⎝⎜x−π42⎞⎠⎟

但是实际上到这里解已经可以看到。因为正余弦函数值都不大于1，显然：

y=22√sin⎛⎝⎜3x+π42⎞⎠⎟cos⎛⎝⎜x−π42⎞⎠⎟≤22√

只须代入 x=π4 这个特殊值就能发现，恰好能够取到最大值。思路和结果看上去都很不错。

但是，评析人更希望的是，变量代换， u=sinx+cosx∈[−2√,2√] ，然后得到关于u 的二次多项式，在此区间上求最大值得到同样的结果。

这不是死盯着单一的解法讲“方法”吗？

而且还提供了一种明显要盲目假设 sinx=cosx 时取最大值的错误思路。这简直是明知道答案之后反向找解法。完全是荒谬缺乏实战价值的所谓方法。

批评一下。