多元线性回归模型的F检验

F检验    对于多元线性回归模型，在对每个回归系数进行显著性检验之前，应该对回归模型的整体做显著性检验。这就是F检验。当检验被解释变量y_t与一组解释变量x₁, x₂ , ... , x_k -1是否存在回归关系时，给出的零假设与备择假设分别是

H₀：b₁ = b₂ = ... = b_k-1 = 0 ,

H₁：b_i, i = 1, ..., k -1不全为零。

首先要构造F统计量。由（3.36）式知总平方和（SST）可分解为回归平方和（SSR）与残差平方和（SSE）两部分。与这种分解相对应，相应自由度也可以被分解为两部分。

SST具有T - 1个自由度。这是因为在T个变差 ( y_t -), t = 1, ..., T，中存在一个约束条件，即 = 0。由于回归函数中含有k个参数，而这k个参数受一个约束条件  制约，所以SSR具有k -1个自由度。因为SSE中含有T个残差，= y_t -, t = 1, 2, ..., T，这些残差值被k个参数所约束，所以SSE具有T - k个自由度。与SST相对应，自由度T - 1也被分解为两部分，

(T -1) = ( k - 1) + (T - k)                                              (3.44)

平方和除以它相应的自由度称为均方。所以回归均方定义为

MSR = SSR / ( k - 1)

误差均方定义为

MSE = SSE / (T - k)

（显然MSE = s ² (见3.23式)，它的期望是s ²）。定义F统计量为

                                                    (3.45)

在H₀成立条件下，有

F = ~ F_{(k -1, T - k)}

设检验水平为 a ，则检验规则是

若用样本计算的F £ F_{a (k -1, T - k)}，则接受H₀，

若用样本计算的F > F_{a (k -1, T - k)}，则拒绝H₀。

拒绝H₀意味着肯定有解释变量与y_t存在回归关系。若F检验的结论是接受H₀，则说明k – 1个解释变量都不与y_t存在回归关系。此时，假设检验应该到此为止。当F检验的结论是拒绝H₀时，应该进一步做t检验，从而确定模型中哪些是重要解释变量，哪些是非重要解释变量。

from：http://classroom.dufe.edu.cn/spsk/c102/wlkj/CourseContents/Chapter03/03_07_01.htm

http://classroom.dufe.edu.cn/spsk/c102/wlkj/CourseContents/Chapter03/