279. Perfect Squares

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

s思路；
1. 想了半天，觉得应该用dp.比如：先建立一个vector< int> dp(n+1)．例如n=12，则：先用while(i*i<=n),把所有平方数的位置填１，所以就有[1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0],即：dp[0]=dp[1]=dp[4]=dp[9]=1,因此12-9,等于３，发现３的位置为０，表示还没有计算，因此计算３，３之前只有１是完全平方，所以找3-1＝２的组成，发现２也没计算，所以找２，２之前也只有一个完全平方１，所以２－１＝１，１就是完全平方数，所以可以把2和3的组成找到，即：２＝1+1,3=1+1+1。这个思路有点像dfs。
2. 参考https://discuss.leetcode.com/topic/24255/summary-of-4-different-solutions-bfs-dp-static-dp-and-mathematics/2
3. 根据上面的链接，这道题还可以用bfs，更妙！先把完全平方数找出来，例如上面n=12,则1,4,9就是完全平方数，然后判断n是否就是完全平方数，不是的话，那么就把这３个数放入queue，然后每次取出的时候和1,4,9相加，看相加的结果是否访问过，如果没有访问过，那么就给这个位置的次数就加1。为什么是bfs呢？

index 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 count 0 1 2 3 1 2 3 4 2 1 2 3 3

这里想讲一下，为啥是bfs？很有意思。所有完全平方数的count都是1,也就是需要１个完全平方就可以组成这个数；由于这些数都是完全平方数，那么就是bfs的一个层次的；同样的，所有的count=2的位置，例如：2,5,8,10则是另一个层次的，这也是为什么用bfs来做的原因，而且2,5,8,10可以由第一个层次的1,4,9和基本组成单元1,4,9求和得到。这里更有意思的是，３个数和３个数两两相加本来应该有９种结果，可是这里只有４种结果。为什么？这就是迷惑人的地方了，或者不容易看到的地方，需要思考。比如1+4==4+1重复了，所以看不见，或者换一种说法，看到5,不要以为就是一个5，他其实包含有多个5，只是这种表达方式看不出来，但真相就是这个5是多个５而不是一个５；还有一类是9+9>12了，这种结果也不需要，因为超出我们关心的范围了，因此第二层就只有４个能看见的数；继续下去，我们得到更深的层次。注意每个层次都有相同的count值，这也是我们划分层次的依据。下一个层次是通过把2,5,8,10和基本组成单元1,4,9求和得到，即：3,6,11,12．还是刚才的原因，本来应该有12个求和结果，但是因为重复或超过12的原因，而保留下来４个，此时我们就得到了12的层次数就是组成１２的完全平方数的个数了。
4.用bfs比用dp快，用dp复杂度是o(n*sqrt(n))，但dp有很多重复计算，bfs每次都要排除重复和越界的，不停的在剪枝。这道题给我的启发是，先画出一些点，看有没有什么规律，而且还有数学方法证明所有数可以用最多４个平方数之和表示，因此，有大量的数是１个平方数，有大量的数是２个平方数，还有大量数是３个平方数，一个平方数就是下边界，即：基本情况，本身就是完全平方数，这应该是我们问题的起点。找到起点之后，再看问题如何evolve：如何从１个变成２个？这个也简单，就是把所有一个平方数和一个平方数分别加，就得到２个的情况，然后从２个得到３个，就用２个的平方数和一个的平方数分别加。
5. 自己看到题，也尝试这么思考，想先找到问题的边界，或元问题，或基本问题，这里就是先找到所有本身就是完全平方的数，以此为起点，找到并标记所有两个完全平方和的数，再找三个或四个，也就是要看到元问题和最后要求的问题之间的差别是哪儿，如果不在一个层次上，就可以用bfs去一级一级的深入。能想到这个答案的人，都是牛人啊！
6. 这道题的终极解法，就是数学了！因为最后答案就是1-4，范围很小，所以很容易就猜到用数学公式很容易搞定，数学方法采用top-down的系统解法，不像我们用dp还是bfs，本质还是bottom-up：先找到元问题(起点),再找到每一步如何走(递推关系)，最后就一定可以走向答案！通过这道题，又加深了对bfs和dp,以及数学的相互关系！大写的赞！妙！

//方法１：dpclass Solution {public:    int numSquares(int n) {        //        vector<int> dp(n+1,INT_MAX);        dp[0]=0;        for(int i=1;i<=n;i++){            for(int j=1;j*j<=i;j++){                dp[i]=min(dp[i],dp[i-j*j]+1);                }            }        return dp[n];    }};//方法２：bfs　推荐！从一堆数据中找到元问题，发现本质就是一个bfs//只有发现是bfs,才能轻松写出来，立场决定眼界呀！class Solution {public:    int numSquares(int n) {        //        vector<bool> visited(n+1,0);        vector<int> squarenum;        for(int i=1;i*i<=n;i++){            int j=i*i;            if(j==n) return 1;            squarenum.push_back(j);            visited[j]=1;           }        queue<int> bfs;        for(int k:squarenum)            bfs.push(k);        int count=1;        while(!bfs.empty()){            count++;            int sz=bfs.size();            for(int j=0;j<sz;j++){                int cur=bfs.front();                for(int i=0;i<squarenum.size();i++){                    int tmp=cur+squarenum[i];                    if(tmp==n) return count;                    if(tmp>n) break;                    if(tmp<n&&(visited[tmp]==0)){                        visited[tmp]=1;                        bfs.push(tmp);                    }                   }                bfs.pop();            }        }        return 0;    }};