图相关知识点（下）

广度优先搜索(BFS)

广度优先搜索：首先访问节点v,然后依次访问与节点v相邻的节点，访问完相邻节点后再访问相邻节点的相邻节点。

下面是广搜的一个示意图:

初始的时候，每一个节点都是白色的

即将搜索起点V0

已经搜索了v0，下面希望搜索v1、v2、v3

下面将要搜索v4、v5、v6

找到最短的路径:V0->v2->v6

在写具体代码之前有必要先举个实例，详见第4节。

4.实例

第一节就讲过广度优先搜索适用于迷宫类问题，这里先给出POJ3984《迷宫问题》。

《迷宫问题》

定义一个二维数组： 
int maze[5][5] = {
    0, 1, 0, 0, 0,
    0, 1, 0, 1, 0,
    0, 0, 0, 0, 0,
    0, 1, 1, 1, 0,
    0, 0, 0, 1, 0,
};
它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的最短路线。 

题目保证了输入是一定有解的。

也许你会问，这个跟广度优先搜索的图怎么对应起来？BFS的第一步就是要识别图的节点跟边！

4.1.识别出节点跟边

节点就是某种状态，边就是节点与节点间的某种规则。

对应于《迷宫问题》，你可以这么认为，节点就是迷宫路上的每一个格子（非墙），走迷宫的时候，格子间的关系是什么呢？按照题目意思，我们只能横竖走，因此我们可以这样看，格子与它横竖方向上的格子是有连通关系的，只要这个格子跟另一个格子是连通的，那么两个格子节点间就有一条边。

如果说本题再修改成斜方向也可以走的话，那么就是格子跟周围8个格子都可以连通，于是一个节点就会有8条边（除了边界的节点）。

4.2.解题思路

对应于题目的输入数组：

0, 1, 0, 0, 0,
    0, 1, 0, 1, 0,
    0, 0, 0, 0, 0,
    0, 1, 1, 1, 0,
    0, 0, 0, 1, 0,

我们把节点定义为(x,y)，(x,y)表示数组maze的项maze[x][y]。

于是起点就是(0,0)，终点是(4,4)。按照刚刚的思路，我们大概手工梳理一遍：

初始条件：

起点Vs为(0,0)

终点Vd为(4,4)

灰色节点集合Q={}

初始化所有节点为白色节点

开始我们的广度搜索！

手工执行步骤【PS：你可以直接看图4-1】:

1.起始节点Vs变成灰色，加入队列Q，Q={(0,0)}

2.取出队列Q的头一个节点Vn，Vn={0,0}，Q={}

3.把Vn={0,0}染成黑色，取出Vn所有相邻的白色节点{(1,0)}

4.不包含终点(4,4)，染成灰色，加入队列Q，Q={(1,0)}

5.取出队列Q的头一个节点Vn，Vn={1,0}，Q={}

6.把Vn={1,0}染成黑色，取出Vn所有相邻的白色节点{(2,0)}

7.不包含终点(4,4)，染成灰色，加入队列Q，Q={(2,0)}

8.取出队列Q的头一个节点Vn，Vn={2,0}，Q={}

9.把Vn={2,0}染成黑色，取出Vn所有相邻的白色节点{(2,1), (3,0)}

10.不包含终点(4,4)，染成灰色，加入队列Q，Q={(2,1), (3,0)}

11.取出队列Q的头一个节点Vn，Vn={2,1}，Q={(3,0)}

12. 把Vn={2,1}染成黑色，取出Vn所有相邻的白色节点{(2,2)}

13.不包含终点(4,4)，染成灰色，加入队列Q，Q={(3,0), (2,2)}

14.持续下去，知道Vn的所有相邻的白色节点中包含了(4,4)……

15.此时获得了答案

起始你很容易模仿上边过程走到终点，那为什么它就是最短的呢？

怎么保证呢？

我们来看看广度搜索的过程中节点的顺序情况：

你是否观察到了，广度搜索的顺序是什么样子的？

图中标号即为我们搜索过程中的顺序，我们观察到，这个搜索顺序是按照上图的层次关系来的，例如节点(0,0)在第1层，节点(1,0)在第2层，节点(2,0)在第3层，节点(2,1)和节点(3,0)在第3层。

我们的搜索顺序就是第一层->第二层->第三层->第N层这样子。

我们假设终点在第N层，因此我们搜索到的路径长度肯定是N，而且这个N一定是所求最短的。

我们用简单的反证法来证明：假设终点在第N层上边出现过，例如第M层，M<N，那么我们在搜索的过程中，肯定是先搜索到第M层的，此时搜索到第M层的时候发现终点出现过了，那么最短路径应该是M，而不是N了。

所以根据广度优先搜索的话，搜索到终点时，该路径一定是最短的。

深度优先搜索（DFS）:

我们假设一个节点衍生出来的相邻节点平均的个数是N个，那么当起点开始搜索的时候，队列有一个节点，当起点拿出来后，把它相邻的节点放进去，那么队列就有N个节点，当下一层的搜索中再加入元素到队列的时候，节点数达到了N2，你可以想想，一旦N是一个比较大的数的时候，这个树的层次又比较深，那这个队列就得需要很大的内存空间了。

于是广度优先搜索的缺点出来了：在树的层次较深&子节点数较多的情况下，消耗内存十分严重。广度优先搜索适用于节点的子节点数量不多，并且树的层次不会太深的情况。

那么深度优先就可以克服这个缺点，因为每次搜的过程，每一层只需维护一个节点。但回过头想想，广度优先能够找到最短路径，那深度优先能否找到呢？深度优先的方法是一条路走到黑，那显然无法知道这条路是不是最短的，所以你还得继续走别的路去判断是否是最短路？

于是深度优先搜索的缺点也出来了：难以寻找最优解，仅仅只能寻找有解。其优点就是内存消耗小，克服了刚刚说的广度优先搜索的缺点。