硬币划分问题

硬币划分问题

硬币划分问题应该是最最经典的一类组合数学的问题，问题如下：

要给人家10块钱，手里有很多1元，2元，5元和10元的硬币，问有多少种方法？

虽说没有2元5元10元的硬币，不过也没说是RMB呀。怎么办呢，小学生说好我来设未知数，于是写下了a+2b+5c+10d=10，然后写了一句，求出其解的个数即可。唔，我服！

于是小学生开始了列举，而我默默打开了Mathematica，唔，不定方程又称丢潘图方程（Diophantine Equations）所以，找到了Frobenius Equations。

A Frobenius equation is an equation of the form

∑ni=1aixi=m

where ai are positive integers, m is an integer, and the coordinates xi of solutions are required to be non-negative integers.

于是一共有11种。

那和这题有什么关系吗？还是不会做。

等等，如果我们没有很多钱呢，如果每种钱只有3张，那么穷举一下也不怎么费劲吧，试试看。

1元：0，1，2，3

2元：0，2，4，6

5元：0，5 ，10，15

10元：0，10，20，30

随意组合的话一共有44=256种欸。话说这种组合是把每个的情况数相乘，感觉和多项式相乘有点像，每个都乘起来，用多项式表示试试？幂表示能凑的数，系数表示能凑多少。乘起来的话，幂正好是相加的，然后系数也是不同凑的方法加起来，简直棒啊。

1元：1+x+x2+x3

2元：1+x2+x4+x6

5元：1+x5+x10+x15

10元：1+x10+x20+x30

乘起来？

我的妈这么多，不过我们找找我们的小目标10块钱，唔，系数是4，很好，小学生过来数一数哪四种？

1+1+1+2+5

1+2+2+5

5+5

10

没了，嗯，的确没了，结果貌似很对。验证一下前面的，如果是无数的钱怎么办？于是写下了

∑i=0infxi×∑i=0infx2i×∑i=0infx5i×∑i=0infx10i=die

这tm怎么算！劳驾Mathematica吧，无穷的也算不动啊。还好，我们只要求x10​的系数，那就好办了，把多的都去掉呗，变成了

∑i=010xi×∑i=05x2i×∑i=02x5i×∑i=01x10i

唔这个Mathematica还是可以算的，直接泰勒展开到第10项。

完美，答案是11。

然而如果要凑100呢，凑1000呢，有没有通用的办法呢？

无穷的数列和貌似很熟悉，∑infi=0xi=11−x，当年学留数的时候经常写啊。那么同理∑infi=0xni=11−xn，很有道理，唔，那么这1，2，5，10就应该写成这样了：

∏i=1,2,5,1011−xi

天呐世界都清爽了，那么这个玩意的第n项的系数就是无数的硬币凑成n元的方法数了，嗯，好棒。所以这玩意叫啥，叫生成函数。