【数据结构与算法】选择算法 selection

选择算法指的是解决选出序列中第n大的元素。比如中位数。

方法如下：

1.使用priorityqueue，维持size为k，把所有元素都加入一遍。最后返回堆顶元素。priorityqueue的复杂度是logk，因此总的是Onlogk。

2.快速选择，使用了快排中的partition思想，每次划分按照low为pivot划分，返回pivot最终的位置，如果这个位置就是k，那么返回，否则大于k，再划分左侧，否则右侧。这个算法的平均复杂度是On，在算法导论中得到证明。但是最差是On2。因为如果每次都是划分为n-1和1。

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {int low = 0, high = nums.length - 1;while (true) {int l = partition(low, high, nums);if (l == nums.length - k) {return nums[l];}if (l < nums.length - k) {low = l + 1;} else {high = l - 1;}}}public int partition(int low, int high, int[] nums) {int temp = nums[low];while (low < high) {while (low < high && nums[high] >= temp)high--;nums[low] = nums[high];while (low < high && nums[low] <= temp)low++;nums[high] = nums[low];}nums[low] = temp;return low;}

3. BFPTR算法，该名称来自五个发明者的名字，是对上述快速选择的改进，主要是对最差情况的改进，对pivot的选择不再是第一个，而是分组中位数的中位数。可以证明最差是On。

（1）先把array分为每组包含5个元素的组，最后一组可能不满；找出每一组的中位数，并且移动至array的前面，方便后续寻找；这一步是特殊的case，用一个插入排序就可以实现。

（2）找出中位数的中位数，这一步是一次递归地调用；

（3）得到pivot以后，按照pivot来partition；然后分3个case，类似于快速选择。

下面是一些别人的实现：

http://noalgo.info/466.html

时间复杂度分析：（1）步需要On；（2）步需要T（n/5）；（3）考虑最坏情况，那么就是没有找到，需要递归到高位或者地位去寻找，相当于递归调用了一次BFPTR算法。那么我们需要得到递归地元素个数。假设中位数的中位数是x，那么有一半的组中，至少含有3个元素大于x，即1/2 * n/5 * 3 = 3/10 * n。那么至多有n-3/10 * n = 7/10 * n 元素是大于x的。同理至多有7/10 * n小于x的。因此这一步至多需要T（7/10*n）。要注意，这里中位数的中位数并不是中位数，所以不是2/n，即一分为二。那么，总的复杂度是On。可以把上述式子展开等比数列计算，或者使用主定理。