ZOJ 3785 What day is that today? (费马小定理)
来源:互联网 发布:java软件工程师辛苦么 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 02:35
题目大意
今天是周六,问1^1 + 2^2 + 3^3 + … + N^N天后是周几?(1<=N<=1000000000)
解题思路
第一眼看到题目天真的以为是快速幂取模的简单应用,在飞速敲完代码看到火红的 TLE 之后意识到自己想多了,由于N的范围达到了10^9,所以快速幂取模的方法行不通。
接下来就是使用万能打表A题法,但是由于本题中的循环数太大(294)导致在眼睛看瞎之前很有可能找不到循环点(反正我是没有找到),既然打表也不靠谱,倒不如用数学的方式推导出公式。既靠谱又不伤眼睛。
首先我们关注公式中的单项 N^N % 7 的值, 当 N 的值小于7时,毫无疑问底数 N 有6种情况(1-6),当 N 的值大于7时,可以得到 N=7 * k + b, 则
(7 * k + b)^N % 7 = (7 * K+B) % 7 * (7 * K + B)^ (N-1) % 7=b * (7 * K + B) ^ (N-1) % 7 ,经过递推最终可以得到
(7 * K + B)^N % 7 = B ^ N % 7** (0<=B<=6),根据费马小定理 在 gcd (A,P)=1 的条件下存在 A ^ (P-1)=1(mod P)。
在本题中 ,N % 7 !=0 时,恒有 B^6 % 7 = 1 ,则 B^(6*K2+B2)=B ^ B2(0<=B2<=5)。当 N % 7==0 时 , 毫无疑问 N^N%7==0 恒成立, 则 我们可以得出一个结论 N^N % 7的数值 共有 B * B2 =6 * 7=42种情况。但是此时求出的只是单项的循环结,所以将结果再乘前缀和的循环结7即可得到最终的循环结 294 。
代码
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long int ll;int ans[1001];ll quick(ll a,ll b,ll c){ ll ans=1; while(b) { a=a%c; ans=ans%c; if(b%2==1) ans=(ans*a)%c; b/=2; a=(a*a)%c; } return ans%c;}void init(){ ans[1]=1; for(int i=2;i<=294;i++){ ans[i]=(ans[i-1]+quick(i,i,7))%7; }}int main(){ ll t,sum; int n;init(); scanf("%lld",&t); while(t--) { sum=0; scanf("%d",&n); sum=ans[n%294]; if(sum==0) printf("Saturday\n"); else if(sum==1) printf("Sunday\n"); else if(sum==2) printf("Monday\n"); else if(sum==3) printf("Tuesday\n"); else if(sum==4) printf("Wednesday\n"); else if(sum==5) printf("Thursday\n"); else printf("Friday\n"); } return 0;}
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