三道题理解动态规划

动态规划是算法导论中介绍的最重要的几种基本算法之一，因为好长时间没有看书，再加上原来就理解的不深入，所以早就忘的差不多了，这两天正好因为一道面试题复习一下。

用几句话描述动态规划问题如下：

一个问题可以分解若干子问题，每一个子问题为一种状态，求出每一个状态的最优解，进而在它的帮助下求出下一个状态的最优解。

解决动态规划问题，最重要的步骤就是找出状态转移方程。有了状态转移方程就可以根据初始状态（边界）求出每一个状态的最优解。

动归问题的特点如下：

• 最优子结构

• 子问题重叠

• 边界

• 子问题独立

下面用三道题目帮组理解一下。

用最少的硬币得到给定的money

有1分，3分，5分3种硬币，如何使用最少的硬币数量得到12分。这个题目的状态转移方程如下。

d(i) = min(d(i-v(j)) + 1)

其中d是硬币数量，i是money总数，v(j)是第j个硬币的单位。初始值d(0)=0。代码如下：

    #! /usr/bin/env python    # -*- coding:gbk -*-    class Solution(object):        def get_min_count(self, money, item_list):            num_list = {}            if money == 0:                return 0            num_list[0] = 0            for i in range(1, money + 1):                min = (1<<31) - 1                index = -1                for j in range(0, len(item_list)):                    if item_list[j] <= i:                        if min > num_list[i - item_list[j]] + 1:                            min = num_list[i - item_list[j]] + 1                            index = j                print "cur_index:%d cur_item:%d pre_index:%d pre_num:%d" \\                        %(i, item_list[index], i - item_list[index], num_list[i - item_list[index]])                num_list[i] = min            return num_list[money]    if __name__ == "__main__":        s = Solution()        money = 12        item_list = [1, 3, 5]        print s.get_min_count(money, item_list)

最长升序子数列

题目的意思就是从一个数列当中找出最长的升序的子数列，比如”123412345123”的最长升序子数列是”12345”，这个题目的状态转移方程如下。

d(i) = d(i)+1 [if a[i] > a[j] i > j] or d(i) = 1 [if a[i] < a[j] i > j]

其中d是长度，i和j分别代表第i和j个字符，初始值d(0)=0。代码如下：

    #! /usr/bin/env python    # -*- coding:gbk -*-    class Solution(object):        def max_up_seq(self, seq):            if len(seq) == 0:                return 0            ret_len = {}            ret_len[0] = 1            max_len = 1            max_seq_start = 0            for i in range(0, len(seq) - 1):                if seq[i + 1] >= seq[i]:                    ret_len[i+1] = ret_len[i] + 1                else:                    ret_len[i+1] = 1                    if max_len < ret_len[i]:                        max_len = ret_len[i]                        max_seq_start = i - max_len + 1            if max_len < ret_len[len(seq) - 1]:                max_len = ret_len[len(seq) - 1]                max_seq_start = len(seq) - max_len            return seq[max_seq_start:max_seq_start + max_len]    if __name__ == "__main__":        s = Solution()        print s.max_up_seq([1,2,3,4])        print s.max_up_seq([1,2,3,4,2,3,3,4])        print s.max_up_seq([1,2,1,2,3,4,7,8,9,1,2,4,5,7])

0-1背包问题

这道题是动态规划最经典的问题，网上求解方法很多。题目内容大致是， 有5个商品，背包的体积为10，他们的体积为 c[5] = {2, 2, 6, 5, 4}， 价值为 v[5] = {6, 3, 5, 4, 6}，如何利用背包的体积放入价值最大的物品。一个物品只能放入或者没有放入背包。

状态方程如下。

V[i][j]=max(V[i-1][j],f[i-1][j-ci]+vi)

其中C是背包体积，V[i][j]放入第i个物品总体积为j时的总价值，c[i]是第i个商品体积，v[i]是第i商品价值。代码如下：

    # include <cstdio>    const int MAX_NUM = 100;    int V[MAX_NUM][MAX_NUM];    int bag(int volum, int n, int* weight, int* value) {        if (volum == 0) {            return 0;        }        for (int i = 0; i < n + 1; ++i) {            V[i][0] = 0;            // printf("weight:%d value:%d\", weight[i], value[i]);        }        for (int i = 0; i < volum + 1; ++i) {            V[0][i] = 0;        }        printf("volum:%d num:%d\", volum, n);        for (int j = 1; j < volum+1; ++j) {            for (int i = 1; i < n+1; ++i) {                int max = V[i -1][j];                // printf("max:%d ", max);                if (j < weight[i]) {                    // printf("j<weight[i] ");                    V[i][j] = V[i - 1][j];                } else {                    // printf("j>=weight[i] ");                    if (max < V[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) {                        max = V[i - 1][j - weight[i]] + value[i];                    }                    V[i][j] = max;                }                printf("%d %d item:%d\", i, j, V[i][j]);            }        }        return 0;    }    int main() {        int weight[6] = {0, 2, 2, 6, 5, 4};        int value[6] = {0, 6, 3, 5, 4, 6};        bag(10, 5, weight, value);        printf("max value: %d\", V[5][10]);        return 0;    }