数学------为什么“负负得正”

引言：“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”------克隆尼克（L. Kronecker,1823-1891）

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  翻开数学史，我们可以看到，在公元前600到300年间，随着古典希腊学者的出现，数学才作为一个独立和理性的学科出现在历史的舞台上。起初，人们研究正整数的算术规律，为了表示正整数之间的算术规律（而不涉及一些特定的整数值），人们用字母a,b,c,...作为表示正整数的符号。于是他们把发现的算术运算的五大规律 表示如下：

(1)a+b=b+a
(2)a×b=b×a
(3)a+(b+c)=(a+b)+c
(4)(a×b)×c=a×(b×c)
(5)a×(b+c)=a×b+a×c，乘法分配律

  以上五个规律在正整数域上成立是显然的。后来人们利用逆向思维创造了减法运算。例如a+b=c，记a=c−b。这里的a,b,c均为正整数。应当注意的是，整数c−b仅当c>b时才有定义（因为当时人们只接受正整数）。所以减法运算并不总是可行的，减法运算受到了限制。为了消除这种限制，数学家起初引进符号0，令a−a=0。符号0的引入，稍微扩大了正整数的数系所表示的范围。数域扩大后，为了保证加法和乘法规律依然成立，数学家规定了0的运算法则。（当时很多数学家并不把0看成是数，而仅仅是一个符号）

a+0=aa×0=0

  为了进一步消除减法运算的限制，数学家又引进了符号−1,−2,−3,...用以表示当c<b时，减法c−b的对应的结果。（当时很多数学家并不把符号−1,−2,−3,...看成是数，而仅仅是符号）

c−b=−(b−c)

后来人们把符号−1,−2,−3,...被称作负整数，负整数和0的引入也保证了减法能在整数(正整数、0、负整数)范围内无任何限制的进行。既然引入了负整数，当然数学家也必须定义他们的运算，使得前人总结的算术运算规律保持不变。

负整数的加法运算这里不再赘述，因为负整数很容易满足加法的运算规律（交换律、结合律）。数学家把更多精力放在负整数乘法规律的探索上。为了保证上面规律(5)a(b+c)=ab+ac的结果。数学家规定(−1)×(−1)=1，人们也称为乘法运算的”符号规则”。如果让(−1)×(−1)=−1，会导致(5)a(b+c)=ab+ac不成立。论证如下：

令a=−1,b=1,c=−1,则规律(5)a(b+c)=(−1)×(1−1)=(−1)×1+(−1)×(−1)=−1−1=−2，但不使用乘法分配律时，a(b+c)=(−1)×(1−1)=(−1)×0=0，显然结果为0是正确的。这就说明(5)a(b+c)=ab+ac不成立。

  这里关于“负负得正”符号规则的论证略微简陋了一些，但也算详细介绍了符号规则由来的前因后果。“负负得正”符号规则的正确性可以用数学逻辑来证明。遗憾的是，现有证明都用到抽象代数中集、群、环的相关理论。如果想了解这方面的知识，建议看看北京大学丘维声教授的在线视频课程《数学的思维方式与创新》。

  0和负整数的引入，和及相应运算规则的引入，是经历很长时间探索的结果。起初很多数学家也不把0和符号−1,−2,−3,...看成是数，但随着日常生活中0和负整数的应用越来越频繁，又经过了一个漫长而曲折的发展过程，零和负整数也逐渐取得了和正整数同样的地位了。

总结：数学自古就是解决问题的强大工具，在解决问题的过程中不断壮大。零和负整数从引入解决了很多算术问题，但真正被人们接收却经历的漫长的过程。需要注意的是，零和负整数的运算规则是人为规定的，我们也可以给零和负整数定义其他运算规则，但将会使我们的符号算术变成毫无意义的游戏。这扩充的数域必须通过定义来创造，这些定义是随意的。但是，如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质，它是毫无用处的。这些扩充有时可以和“实际”对象相联系，通过这种方式为新的应用提供工具，这是最重要的，但是这只能提供一种动力而不是扩充的合理性的逻辑证明。同样，有理数、无理数、复数的引入和真正被人们接受也经历过曲折的过程。数域的不断扩充，逐渐形成了近代数学的基础。