UVA-10600-ACM Contest and Blackout （次小生成树三种解法）

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次小生成树有两种算法，一种是先跑一次最小生成树并记录下每条边，然后每次仅删去一条边，跑n-1次最小生成树取最小值为次小生成树，这样的时间复杂度是O( n∗m∗logm ) （Kruskal）
还有一种就是跑一次最小生成树的过程中得到 Max 数组，Max[i][j] 的值为i到j的路径上最大的一条边。
有一个结论是：设最小生成树为 T ，次小生成树为 T′ ，则存在边 a , b 使得 T′=T−a+b 。
有了 Max 数组以后，我们每次向最小生成树中添加一条不是最小生成树的边，这样形成一个环，然后减 去 Max[i][j] 这条边，得到的就是加入当前边后能重新得到的最小的一棵生成树。
枚举所有边后的权值最小值就是次小生成树权值了。
时间复杂度是，是 O(n∗n) （邻接矩阵存储），或 O(n∗n+m∗logn)

邻接矩阵：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;int G[107][107],pre[107],d[107],Max[107][107],n,m;bool vis[107],gvis[107][107];int Prim(int &min1,int &min2){    min1=0;min2=INF;    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(Max,0,sizeof(Max));    memset(d,0x3f,sizeof(d));    memset(gvis,0,sizeof(gvis));    for(int i=2;i<=n;i++)        if(G[1][i]!=INF)        {            d[i]=G[1][i];            pre[i]=1;        }    vis[1]=true;    for(int i=1;i<n;i++)    {        int u,c=INF;        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(vis[j])  continue;            if(d[j]<c)  c=d[j],u=j;        }        gvis[pre[u]][u]=gvis[u][pre[u]]=true;        min1+=c;        for(int v=1;v<=n;v++)            if(vis[v])                Max[u][v]=Max[v][u]=max(Max[v][pre[u]],c);        vis[u]=true;        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(vis[j])  continue;            if(G[u][j]<d[j])            {                d[j]=G[u][j];                pre[j]=u;            }        }    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        {            if(G[i][j]!=INF&&!gvis[i][j])                min2=min(min2,min1+G[i][j]-Max[i][j]);        }    }}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        int u,v,c;        memset(G,0x3f,sizeof(G));        for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);            G[u][v]=G[v][u]=c;        }        int min1,min2;        Prim(min1,min2);        printf("%d %d\n",min1,min2);    }    return 0;}

堆优化：

#include<vector>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>using namespace std;int d[107],Max[107][107],n,m,G[107][107];bool vis[107];struct Edge{    int u,v,d;    Edge(int _u,int _v,int _d):u(_u),v(_v),d(_d){}    Edge(){}    bool operator < (const Edge & r) const {        return d>r.d;    }};vector<Edge> adj[107];void Prim(int &min1,int &min2){    memset(vis,0,sizeof(vis));    min1=0;    min2=0x3f3f3f3f;    priority_queue<Edge> q;    q.push(Edge(1,1,0));    memset(Max,0,sizeof(Max));    memset(G,0,sizeof(G));    while(!q.empty())    {        Edge t=q.top();q.pop();        if(vis[t.v])    continue;        min1+=t.d;        G[t.u][t.v]=G[t.v][t.u]=true;        for(int i=1;i<=n;i++)            if(vis[i])                Max[i][t.v]=Max[t.v][i]=max(Max[t.u][i],t.d);        vis[t.v]=true;        for(int i=0;i<adj[t.v].size();i++)        {            Edge e=adj[t.v][i];            if(vis[e.v])    continue;            q.push(e);        }    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=0;j<adj[i].size();j++)        {            Edge t=adj[i][j];            if(G[i][t.v])   continue;            min2=min(min2,min1-Max[t.u][t.v]+t.d);        }    }}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        cin>>n>>m;        int u,v,c;        for(int i=1;i<=n;i++)   adj[i].clear();        memset(G,0,sizeof(G));        for(int i=0;i<m;i++)        {            cin>>u>>v>>c;            adj[u].push_back(Edge(u,v,c));            adj[v].push_back(Edge(v,u,c));        }        int min1,min2;        Prim(min1,min2);        cout << min1 << " " << min2 << endl;    }    return 0;}