目标函数与损失函数的差别

今天微博上看到朋友转发了Quora上的一个提问:目标函数和损失函数是一样的吗?
评论区里几乎所有人都表示：这两不就是同一个东西吗？但是总感觉有哪里不对。数学讲究用最精简的语言去描述对象，为什么同一个东西会有两种叫法？
是的，它们的确是不同的！
损失函数度量的是预测值与真实值之间的差异。损失函数通常写作L(y^,y)，y^代表预测值，y代表真实值。例如square loss定义为L(y^,y)=(y^−y)2，square loss定义为L(y^,y)=max{0,1−y^y}。
目标函数就是一个更加宽泛的概念。目标函数是优化问题中的一个概念。任何一个优化问题包括两个部分：(1)目标函数，最终是要最大化或者最小化这个函数；(2)约束条件。约束条件是可选的，比如x<0。
为了更生动形象的理解两者的区别，Prasoon Goyal举了三个例子。

• 即使损失函数又是目标函数
  最小二乘拟：给定一组的样本点{(x1,y1),...,(xn,yn)}，我们要求一条直线去拟合这些样本点。假设求出模型形式为y=βTx。接着我们要最小化下面这个方程：
  argmaxβ{∑i=0n(βTxi−yi)2}
  上面的这个式子即使损失函数又是目标函数。所以在这个时候，损失函数和目标函数是同一个概念。
• 是目标函数但大于损失函数
  脊回归（Ridge regression）：类似于最小二乘拟合，不过脊回归假设参数足够简单。此时需要对β做正则化处理。需要优化的函数就变成：
  
  argmaxβ{∑i=0n(βTxi−yi)2+λβTβ}
  
  上式可以称作是目标函数，但却不是损失函数。损失函数仅是这个函数的一部分。
• 是目标函数但没有损失函数
  极大似然估计：假设我们有一枚硬币，正面的概率是p，方面的概率是(1−p)。将这枚硬币抛了100次后，观察发现有42次正面向上，58次反面向上，求p值？42次正面向上，58次反面向上的概率为p42(1−p)58。用极大似然发求p则要优化下面的函数：
  argmaxpp42(1−p)58
  
  在这个例子是仅有目标函数，不存在损失函数。