【51Nod 1149】Pi的递推式

Description

F(x) = 1 (0 <= x < 4)
F(n) = F(n - 1) + F(n - pi) (4 <= x)
Pi = 3.1415926535…..
现在给出一个N，求F(n)。由于结果巨大，只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

Solution

之前在做斐波那契额数列的第n项的时候，可以考虑为从0开始，可以选择+1或+2，一直加到n的方案数。
那么这道题也大同小异，从0开始可以+1或者+π，直到第一次＞n-4的时候的方案数（为什么是第一次，因为从n选择-1或-pi，当小于4的时候就退出1了）
那么在最后到达n-4的时候，可能是+1加进去的，也可能是+pi加进去的，所以要分类讨论一下。
如果是+1加进去的，那么就要枚举+pi的次数，然后求出+1次数的上限，使得最后加到≤n-4，然后+1就可以突破。然后用组合数算一算就好了。
如果是+pi加进去的，那么和上面类似，只不过是枚举+1的次数，然后求+pi的上限而已。

Code

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<math.h>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)typedef double db;typedef long long ll;using namespace std;const db pi=acos(-1);const int mo=1e9+7,maxn=1e6+7;int i,j,k,l,t,n,m;ll ans,fact[maxn],ni[maxn];db x,y;ll qsm(ll x,ll y){    ll z=1;    for(;y;y/=2,x=x*x%mo)if(y&1)z=z*x%mo;    return z;}ll c(ll x,ll y){    return fact[x]*ni[x-y]%mo*ni[y]%mo;}int main(){    fact[0]=ni[0]=1;    fo(i,1,1000000)fact[i]=fact[i-1]*i%mo;    ni[1000000]=qsm(fact[1000000],mo-2);    fod(i,999999,1)ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mo;    scanf("%d",&n);    if(n<4){printf("1\n");return 0;}    n-=4;    fo(i,0,int(n*1.0/pi)){        t=(db)(n-i*pi);        (ans+=c(t+i,i))%=mo;    }    fo(i,0,n){        t=(db)((n-i)/pi);        (ans+=c(t+i,i))%=mo;    }    printf("%lld\n",ans);}