数值分析与算法——读书笔记(三)
来源:互联网 发布:js new image对象属性 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 19:56
chapter3
线性方程组的直接解法
线性方程组(linear equation system)可写成如下形式:
若
3.1基本概念与问题的敏感性
线性代数中的有关概念
向量范数和矩阵范数
对于实向量
x=[x1,x2,⋯,xn]T ,给出常用的几种范数:- 1-范数:
∥x∥1=∑ni=1|xi| - 2-范数:
∥x∥2=(∑ni=1|xi|2)12=(xTx)12 ∞ -范数:∥x∥∞=max1≤i≤n|xi|
定理:
Rn 上的任一一种向量范数∥x∥ 都是关于x 分量x1,x2,⋯,xn 的连续函数定理:设
∥x∥s 和∥x∥t 为Rn 上的任意两种向量范数,则存在常数c1,c2>0 ,使得对一切x∈Rn 有c1∥x∥s≤∥x∥t≤c2∥x∥s
定义:设x∈Rn ,A∈Rn×n ,对某种给定的向量范数∥x∥v ,矩阵的算子范数为∥A∥v=maxx≠0∥Ax∥v∥x∥v
对应于向量的1-范数、2-范数和∞ -范数,矩阵A=(aij∈Rn×n 的算子范数分别为:- 1-范数:
∥A∥1=max1≤j≤n∑ni=1∣∣aij∣∣ - 2-范数:
∥A∥2=λmax(ATA)−−−−−−−−−√ ,其中λmax(⋅) 表示取矩阵最大特征值的函数 ∞ -范数:∥A∥∞=max1≤i≤n∑nj=1∣∣aij∣∣
- 1-范数:
问题的敏感性和矩阵条件数
定义:设
A 为非奇异矩阵,称cond(A)v=∥A∥v∥∥A−1∥∥v 为矩阵的条件数,其中下标v 用于标识某种矩阵的算子范数如果系数矩阵的条件数很大,称之为病态矩阵,对应的线性方程组求解问题是敏感(病态)问题;如果系数矩阵的条件数很小,称之为良态矩阵,相应的线性方程组求解问题不太敏感。
3.2 高斯消元法
求解线性方程组的高斯消去过程
输入:
A ,n ,b ;输出:A ,b 。For
k=1,2,⋯,n−1 If
akk=0 then 停止 For
i=k+1,k+2,⋯,n
c:=−aik/akk ; For
j=k+1,k+2,⋯,n
aij:=aij+cakj ; End
bi:=bi+cbk ; End
End
时间复杂度:
O(n3)
0 0
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